Инструкция
1
Запишите заданную квадратную матрицу А. Для поиска ее собственных чисел используйте характеристическое уравнение, вытекающее из условия нетривиального решения линейной однородной системы, представленной в данном случае квадратной матрицей. Как следует из правила Крамера, решение существует только в том случае, если ее определитель равен нулю. Таким образом, можно записать уравнение | A - λE | = 0, где А – заданная матрица, λ – искомые собственные числа, E – единичная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единице, а остальные – нулю.
2
Выполните умножение искомой переменной λ на единичную матрицу Е той же размерности, что и заданная исходная А. Результатом операции будет являться матрица, где по главной диагонали расположены значения λ, остальные элементы остаются равными нулю.
3
Вычтите из заданной матрицы А полученную в предыдущем шаге матрицу. Результирующая матрица разности будет повторять исходную А за исключением элементов по главной диагонали. Они же будут представлять собой разность: (аii – λ), где аii – элементы главной диагонали матрицы А, λ – переменная, определяющая искомые собственные числа.
4
Найдите определитель полученной матрицы разности. В случае рассмотрения системы второго порядка он равен разности произведений элементов главной и побочной диагонали матрицы: (а11 – λ)*( а22 – λ) – а12* а21. Для третьего порядка вычисление определителя проводится по правилу Саррюса (правилу треугольников): а11*а22*а33 + а13*а21*а32 + а12*а23*а31 - а21*а12*а33 - а13*а22*а31 - а11*а32*а23, где аij – элементы матрицы. При решении матриц большей размерности целесообразно использовать метод Гаусса или разложение по строке.
5
В результате вычислений определителя и проведенных упрощений получится линейное уравнение с неизвестной переменной λ. Решите уравнение. Все его действительные корни и будут являться собственными числами исходной матрицы А.