Совет 1: Как найти наибольшее наименьшее значение функции

Выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс доказал, что для каждой непрерывной на отрезке функции существуют ее наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке. Задача определения наибольшего и наименьшего значения функции имеет широкое прикладное значение в экономике, математике, физике и других науках.
Как найти наибольшее наименьшее значение функции
Вам понадобится
  • чистый лист бумаги;
  • ручка или карандаш;
  • учебник по высшей математике.
Инструкция
1
Пусть функция f(x) непрерывна и определена на заданном отрезке [a; b] и имеет на нем некоторое (конечное) количество критических точек. Первым делом найдем производную функции f'(x) по х.
2
Приравниваем производную функции к нулю, чтобы определить критические точки функции. Не забываем определить точки, в которых производная не существует - они также являются критическими.
3
Из множества найденных критических точек выбираем те, которые принадлежат отрезку [a; b]. Вычисляем значения функции f(x) в этих точках и на концах отрезка.
4
Из множества найденных значений функции выбираем максимальное и минимальное значения. Это и есть искомые наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Совет 2: Как определить наибольшее значение функции

Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции прибыли, а именно определить ее наибольшее значение и разработать стратегию его достижения.
Как определить наибольшее значение функции
Инструкция
1
Исследование поведения любой функции всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение функции либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.
2
Исходя из названия, наибольшим является такое значение функции y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.
3
Чтобы определить наибольшее значение функции, следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и бесконечными пределами, а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение на некотором интервале с граничными значениями А и В.
4
Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции. Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, логарифма, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.
5
Найдите производную функции и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.
6
Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят квадратные скобки. Вычислите значения функции при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: [A, +∞), (A,+∞), (-∞; B], (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.
7
Задача на этом этапе состоит в том, чтобы понять, соответствует ли стационарная точка наибольшему значению функции. Это так, если она превышает значения, полученные описанными способами. В случае, если задано несколько интервалов, стационарное значение учитывается только в том из них, который его перекрывает. Иначе рассчитывайте наибольшее значение по граничным точкам интервала. То же делайте в ситуации, когда стационарных точек попросту нет.
Обратите внимание
Может получиться так, что односторонний предел примет бесконечное значение. Тогда однозначно определить наибольшее значение нельзя, можно лишь выявить максимальное значение (экстремум), к которому функция стремится.
Видео по теме
Источники:
  • Наибольшее и наименьшее значение функции
  • как указать наименьшее значение функции
ПОИСК
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500