Совет 1: Как определить тип кривой второго порядка

Ответ весьма прост. Преобразуйте общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Искомых кривых всего три, и это эллипс, гипербола и парабола. Вид соответствующих уравнений можно увидеть в дополнительных источниках. Там же можно убедиться, что полную процедуру приведения к каноническому виду следует всячески избегать в силу ее громоздкости.
Инструкция
1
Вопрос о выяснении вида кривой второго порядка - скорее качественная, чем количественная задача. В самой общей случае решение может начинаться с заданного уравнения линии второго порядка (см. рис. 1). В этом уравнении все коэффициенты - некоторые постоянные числа. Если забыли уравнения эллипса, гиперболы и параболы в каноническом виде, посмотрите их в дополнительных источниках к этой статье или любом учебнике.
Как определить тип кривой второго порядка
2
Сравните общее уравнение с каждым из тех канонических. Нетрудно придти к выводу, что если коэффициенты A≠0, С≠0, и их знак одинаков, то после любого преобразования, приводящего к каноническому виду, будет получен эллипс. Если знак различен – гипербола. Парабола же будет соответствовать ситуации, когда коэффициенты или А или С (но не оба сразу) равны нулю. Таким образом, ответ получен. Только вот числовых характеристик нет, кроме тех коэффициентов, что имеются в конкретном условии задачи.
3
Есть еще один способ получения ответа на поставленный вопрос. Это применение общего полярного уравнения кривых второго порядка. Это означает, что в полярных координатах все три, укладывающиеся в канон кривые (для декартовых координат) записываются практически одним и тем же уравнением. И хотя это в канон и не укладывается – здесь возможно список кривых второго порядка расширять неограниченно (апликата Бернулли, фигура Лиссажу и т. д.).
4
Ограничимся эллипсом (в основном) и гиперболой. Парабола возникнет автоматически, как случай промежуточный. Дело в том, что изначально эллипс определялся как геометрическое место точек, для которых сумма фокальных радиусов r1+r2=2a =const. Для гиперболы |r1-r2|=2a=const. Положите фокусы эллипса (гиперболы) F1(-c, 0), F2(c, 0). Тогда фокальные радиусы эллипса равны (см. рис. 2а). Для правой ветви гиперболы смотрите рисунок 2b.
Как определить тип кривой второго порядка
5
Полярные координаты ρ=ρ(φ) следует вводить, используя фокус, как полярный центр. Тогда можно положить ρ=r2 и после незначительных преобразований получите для правых участков эллипса и параболы полярные уравнения (см. рис. 3). При этом а – большая полуось эллипса (мнимая для гиперболы), с – абсцисса фокуса, про параметр b – на рисунке.
Как определить тип кривой второго порядка
6
Приведенная на формулах рисунка 2 величина ε называется эксцентриситетом. Из формул рисунка 3 следует, что все прочие величины с ней как-либо связаны. И действительно, поскольку ε связана со всеми главными кривыми второго порядка, то на ее основе и можно принимать основные решения. А именно, если ε1 – гипербола. ε=1 – парабола. Это имеет и более глубокий смысл. В куда как крайне сложном курсе «Уравнения математической физики» классификация дифференциальных уравнений с частными производными производится на этой же основе.

Совет 2: Как найти кривую второго порядка

Кривая второго порядка - это геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению ax²+fy²+2bxy+2cx+2gy+k=0, в котором x, y переменные, a, b, c, f, g, k - коэффициенты, и a²+b²+c² отлично от нуля.
Инструкция
1
Приведите уравнение кривой к каноничному виду. Рассмотрите канонический вид уравнения для различных кривых второго порядка: парабола y²=2px; гипербола x²/q²-y²/h²=1; эллипс x²/q²+y²/h²=1; две пересекающиеся прямые x²/q²-y²/h²=0; точка x²/q²+y²/h²=0; две параллельные прямые x²/q²=1, одна прямая x²=0; мнимый эллипс x²/q²+y²/h²=-1.
2
Вычислите инварианты: Δ, D, S, B. Для кривой второго порядка Δ определяет, является ли кривая истинной - невырожденной или предельным случаем одной из истинных - вырожденной. D определяет симметрию кривой.
3
Определите, является ли кривая вырожденной. Вычислите Δ. Δ=afk-agg-bbk+bgc+cbg-cfc. Если Δ=0, то кривая вырожденная, если Δ не равен нулю, то невырожденная.
4
Выясните характер симметрии кривой. Вычислите D. D=a*f-b². Если он не равен нулю, то кривая имеет центр симметрии, если равен, то, соответственно, не имеет.
5
Вычислите S и B. S=a+f. Инвариант В равен сумме двух квадратных матриц: первая со столбцами a, c и c, k, вторая со столбцами f, g и g, k.
6
Определите тип кривой. Рассмотрите вырожденные кривые, когда Δ=0. Если D>0, то это точка. Если D
7
Рассмотрите невырожденные кривые - это эллипс, гипербола и парабола. Если D=0, то это парабола, ее уравнение y²=2px, где p>0. Если D0. Если D>0, а S0, h>0. Если D>0, а S>0, то это мнимый эллипс - нет ни одной точки на плоскости.
8
Выберите тип кривой второго порядка, который вам подходит. Приведите исходное уравнение, если требуется, к каноническому виду.
9
Рассмотрите для примера уравнение y²-6x=0. Получите коэффициенты, исходя из уравнения ax²+fy²+2bxy+2cx+2gy+k=0. Коэффициенты f=1, c=3, а остальные коэффициенты a, b, g, k равны нулю.
10
Вычислите величины Δ и D. Получите Δ=-3*1*3=-9, а D=0. Это значит, что кривая невырожденная, так как Δ не равен нулю. Поскольку D=0, то кривая не имеет центра симметрии. По совокупности признаков, уравнение является параболой. y²=6x.
Источники:
  • Кривые второго порядка: Методическое пособие.
Источники:
  • Psi coma. Автор Как Просто. Как привести к каноническому виду уравнение.
  • Psi coma. Автор Как Просто. Как привести уравнение к каноническому виду.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500