Совет 1: Как найти площадь сечения призмы

Призма — это многогранник, основанием которого служат равные многоугольники, боковыми гранями — параллелограммы. Для того чтобы найти площадь сечения призмы, необходимо знать, какое сечение рассматривается в задании. Различают перпендикулярное и диагональное сечение.
Инструкция
1
Способ расчета площади сечения также зависит от данных, которые уже имеются в задаче. Кроме этого, решение определяется тем, что лежит в основании призмы. Если необходимо найти диагональное сечение призмы, найдите длину диагонали, которая равна корню из суммы (основания сторон в квадрате). Например, если основания сторон прямоугольника равны 3 см и 4 см, соответственно, длина диагонали равна корню из (4х4+3х3)= 5 см. Площадь диагонального сечения найдите по формуле: диагональ основания умножить на высоту.
2
Если в основании призмы находится треугольник, для вычисления площади сечения призмы используйте формулу: 1/2 часть основания треугольника умножить на высоту.
3
В случае, если в основании находится круг, площадь сечения призмы найдите умножением числа «пи» на радиус заданной фигуры в квадрате.
4
Различают следующие виды призм — правильные и прямые. Если необходимо найти сечение правильной призмы, вам нужно знать длину только одной из сторон многоугольника, ведь в основании лежит квадрат, у которого все стороны равны. Найдите диагональ квадрата, которая равна произведению его стороны на корень из двух. После этого перемножив диагональ и высоту, вы получите площадь сечения правильной призмы.
5
Призма имеет свои свойства. Так, площадь боковой поверхности произвольной призмы вычисляется по формуле, где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра. При этом перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым ребрам призмы, а его углы — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых ребрах. Перпендикулярное сечение перпендикулярно и ко всем боковым граням.

Совет 2: Как найти диагональ осевого сечения

Осевым называется сечение, которое проходит через ось геометрического тела, образованного при вращении некой геометрической фигуры. Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из сторон, и этим обусловлены многие его свойства. Образующие этого геометрического тела параллельны и равны между собой, что очень важно для определения параметров его осевого сечения, в том числе диагонали.
Вам понадобится
  • - цилиндр с заданными параметрами;
  • - лист бумаги;
  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - циркуль;
  • - теорема Пифагора;
  • - теоремы синусов и косинусов.
Инструкция
1
Постройте цилиндр согласно заданным условиям. Для того чтобы его начертить, вам необходимо знать радиус основания и высоту. Однако в задаче на определение диагонали могут быть указаны и другие условия — например, угол между диагональю и образующей или диаметром основания. В этом случае при создании чертежа используйте тот размер, который вам задан. Остальные возьмите произвольно и укажите, что именно вам дано. Обозначьте точки пересечения оси и оснований как О и О'.
2
Начертите осевое сечение. Оно представляет собой прямоугольник, два стороны которого являются диаметрами оснований, а две другие — образующими. Поскольку и образующие перпендикулярны основаниям, они являются одновременно и высотами данного геометрического тела. Обозначьте получившийся прямоугольник как АВСD. Проведите диагонали АС и ВD. Вспомните свойства диагоналей прямоугольника. Они равны между собой и делятся в точке пересечения пополам.
3
Рассмотрите треугольник АDC. Он прямоугольный, поскольку образующая CD перпендикулярна основанию. Один катет представляет собой диаметр основания, второй — образующую. Диагональ является гипотенузой. Вспомните, как вычисляется длина гипотенузы любого прямоугольного треугольника. Она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. То есть в данном случае d=√4r2+h2, где d – диагональ, r – радиус основания, а h – высота цилиндра.
4
Если в задаче высота цилиндра не дана, но указан угол диагонали осевого сечения с основанием или образующей, используйте теорему синусов или косинусов. Вспомните, что означают данные тригонометрические функции. Это отношения противолежащего или прилежащего заданному угол катета к гипотенузе, которую вам и нужно найти. Допустим, вам заданы высота и угол CAD между диагональю и диаметром основания. В этом случае используйте теорему синусов, поскольку угол CAD находится напротив образующей. Найдите гипотенузу d по формуле d=h/sinCAD. Если же вам задан радиус и этот же угол, используйте теорему косинусов. В этом случае d=2r/cos CAD.
5
По тому же принципу действуйте и в тех случаях, когда заданы угол ACD между диагональю и образующей. В этом случае теорема синусов используется, когда дан радиус, а косинусов — если известна высота.
Видео по теме

Совет 3: Как найти золотое сечение

Золотое сечение — пропорция, которую издревле считали наиболее совершенной и гармоничной. Она заложена в основу конструкций множества древних сооружений, от статуй до храмов, и очень часто встречается в природе. Вместе с тем эта пропорция выражается удивительно изящными математическими конструкциями.
Инструкция
1
Золотая пропорция определяется следующим образом: это такое разбиение отрезка на две части, что меньшая часть относится к большей так же, как большая часть — ко всему отрезку.
2
Если длину всего отрезка принять за 1, а длину большей части — за x, то искомая пропорция выразится уравнением:

(1 - x)/x = x/1.

Умножая обе части пропорции на x и перенося слагаемые, получаем квадратное уравнение:

x^2 + x - 1 = 0.
3
Уравнение имеет два действительных корня, из которых нас, естественно, интересует только положительный. Он равен (√5 - 1)/2, что примерно равняется 0,618. Это число и выражает золотое сечение. В математике его чаще всего обозначают буквой φ.
4
Число φ обладает рядом замечательных математических свойств. Например, даже из исходного уравнения видно, что 1/φ = φ + 1. Действительно, 1/(0,618) = 1,618.
5
Другой способ вычислить золотую пропорцию состоит в использовании бесконечной дроби. Начиная с любого произвольного x, можно последовательно построить дробь:

x
1/(x + 1)
1/(1/(x+1) + 1)
1/(1/(1/(x+1) + 1) +1)

и так далее.
6
Для облегчения вычислений эту дробь можно представить в виде итеративной процедуры, в которой для вычисления следующего шага нужно прибавить единицу к результату предыдущего шага и разделить единицу на получившееся число. Иными словами:

x0 = x
x(n + 1) = 1/(xn + 1).

Этот процесс сходится, и его предел равен φ + 1.
7
Если заменить вычисление обратной величины извлечением квадратного корня, то есть провести итеративный цикл:

x0 = x
x(n + 1) = √(xn + 1),

то результат останется неизменным: независимо от изначально выбранного x итерации сходятся к значению φ + 1.
8
Геометрически золотое сечение можно построить при помощи правильного пятиугольника. Если провести в нем две пересекающиеся диагонали, то каждая из них разделит другую строго в золотом соотношении. Это наблюдение, согласно преданию, принадлежит Пифагору, который был так потрясен найденной закономерностью, что счел правильную пятиконечную звезду (пентаграмму) священным божественным символом.
9
Причины, по которым именно золотое сечение кажется человеку наиболее гармоничным, неизвестны. Однако эксперименты неоднократно подтверждали, что испытуемые, которым было поручено наиболее красиво разделить отрезок на две неравные части, делают это в пропорциях, весьма близких к золотому соотношению.

Совет 4: Как найти площадь сечения куба

Вопрос относится к аналитической геометрии. Он решается с привлечением уравнений пространственных прямых и плоскостей, понятия куба и его геометрических свойств, а также с использованием векторной алгебры. Могут понадобиться способы рения систем линейных уравнений.
Инструкция
1
Выберите условия задачи так, чтобы они были исчерпывающими, но не избыточными. Секущую плоскость α следует задать общим уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, что наилучшим образом согласуется с произвольным его выбором. Для задания куба вполне хватит координат любых трех его вершин. Возьмите, например, точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), в соответствии с рисунком 1. На этом рисунке проиллюстрировано сечение куба. Оно пересекает два боковых ребра и три ребра оснований.
Как найти площадь сечения куба
2
Определитесь с планом дальнейшей работы. Предстоит искать координаты точек Q, L, N, W, R пересечения сечения с соответствующими ребрами куба. Для этого придется находить уравнения прямых, содержащих эти ребра, и искать точки пересечения ребер с плоскостью α. После этого последует разбиение пятиугольника QLNWR на треугольники (см. рис. 2) и вычисление пощади каждого из них с помощью свойств векторного произведения. Методика каждый раз одна и та же. Поэтому можно ограничиться точками Q и L и площадью треугольника ∆QLN.
Как найти площадь сечения куба
3
Направляющий вектор h прямой, содержащий ребро М1М5 (и точку Q), найдите как векторное произведение M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1} и M2M3={x3-x2, y3-y2, z3-z2}, h={m1, n1, p1}=[M1M2× M2M3]. Полученный вектор является направляющим и для всех прочих боковых ребер. Длину ребра куба найдите как, например, ρ=√( (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Если модуль вектора h |h|≠ρ, то замените его соответствующим коллинеарным вектором s={m, n, p}=(h/|h|)ρ. Теперь запишите уравнение прямой, содержащей М1М5 параметрически (см. рис. 3). После подстановки соответствующих выражений в уравнение секущей плоскости получите А(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Определите t, подставьте в уравнения для М1М5 и запишите координаты точки Q(qx, qy, qz) (рис. 3).
Как найти площадь сечения куба
4
Очевидно, что точка М5 имеет координаты М5(x1+m, y1+n, z1+p). Направляющий вектор для прямой, содержащей ребро М5М8 совпадает с М2М3={x3-x2, y3-y2,z3-z2}. Затем повторите предыдущие рассуждения относительно точки L(lx, ly, lz) (см. рис. 4). Все дальнейшее, для N(nx, ny, nz) – точная копия это шага.
Как найти площадь сечения куба
5
Запишите векторы QL={lx-qx, ly-qy, lz-qz} и QN={nx-qx, ny-qy, nz-qz}. Геометрический смысл их векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах. Поэтому площадь ∆QLN S1=(1/2)|[QL× QN]|. Следуйте предложенной методике и вычислите площади треугольников ∆QNW и ∆QWR - S1 и S2. Векторное произведение удобнее всего находить с помощью вектора-определителя (см. рис. 5). Запишите окончательный ответ S=S1+S2+S3.
Как найти площадь сечения куба
Источники:
  • Шипачев В.С. Высшая математика. 3-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 1996. 496 с.: ил.

Совет 5: Как найти площадь диагонального сечения призмы

Призма — это многогранник с двумя параллельными основаниями и боковыми гранями в форме параллелограмма и в количестве, равном числу сторон многоугольника основания.
Инструкция
1
В произвольной призме боковые ребра расположены под углом к плоскости основания. Частным случаем является прямая призма. В ней боковые стороны лежат в плоскостях, перпендикулярных основаниям. В прямой призме боковые грани — прямоугольники, а боковые ребра равны высоте призмы.
2
Диагональное сечение призмы — часть плоскости, полностью заключенная во внутреннем пространстве многогранника. Диагональное сечение может быть ограничено двумя боковыми ребрами геометрического тела и диагоналями оснований. Очевидно, что число возможных диагональных сечений при этом определяется количеством диагоналей в многоугольнике основания.
3
Или границами диагонального сечения могут служить диагонали боковых граней и противоположные стороны оснований призмы. Диагональное сечение прямоугольной призмы имеет форму прямоугольника. В общем случае произвольной призмы форма диагонального сечения - параллелограмм.
4
В прямоугольной призме площадь диагонального сечения S определяется по формулам:
S=d*H
где d — диагональ основания,
H — высота призмы.
Или S=a*D
где а — сторона основания, принадлежащая одновременно плоскости сечения,
D — диагональ боковой грани.
5
В произвольной непрямой призме диагональное сечение — параллелограмм, одна сторона которого равна боковому ребру призмы, другая - диагонали основания. Или сторонами диагонального сечения могут быть диагонали боковых граней и стороны оснований между вершинами призмы, откуда проведены диагонали боковых поверхностей. Площадь параллелограмма S определяется формулой:
S=d*h
где d — диагональ основания призмы,
h — высота параллелограмма — диагонального сечения призмы.
Или S=a*h
где а — сторона основания призмы, являющаяся и границей диагонального сечения,
h — высота параллелограмма.
6
Для определения высоты диагонального сечения недостаточно знать линейные размеры призмы. Необходимы данные о наклоне призмы к плоскости основания. Дальнейшая задача сводится к последовательному решению нескольких треугольников в зависимости от исходных данных об углах между элементами призмы.
Источники:
  • диагональное сечение призмы
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500