Совет 1: Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник

Вписанной в многоугольник с любым числом сторон называется такая окружность, которая касается каждой стороны лишь в одной точке. В треугольник можно вписать всего одну окружность, а ее радиус зависит от параметров многоугольника - длин сторон, величин углов, площади, периметра и др. Поскольку эти параметры связаны между собой известными тригонометрическими соотношениями, для вычисления радиуса вписанной окружности не обязательно знать их все.
Инструкция
1
Если длины всех сторон треугольника (a, b и c) известны, для вычисления радиуса (r) вписанной в него окружности придется извлекать квадратный корень. Но сначала добавьте к известным переменным еще одну - полупериметр (p). Рассчитайте его, сложив длины всех сторон и поделив результат пополам: p = (a+b+c)/2. Эта переменная значительно упростит общую формулу расчета. Формула должна состоять из знака радикала, под который помещена дробь с полупериметром в знаменателе. В числитель этой дроби поставьте произведение разностей полупериметра с длинами каждой из сторон: r = √((p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
2
Знание площади треугольника (S) в дополнение к длинам всех сторон (a, b и c) позволит обойтись при вычислении радиуса вписанной окружности (r) без извлечения корня. Удвойте площадь и разделите результат на сумму длин всех сторон: r = 2*S/(a+b+c). Если и в этом случае ввести полупериметр (p = (a+b+c)/2), можно получить совсем простую формулу расчета: r = S/p.
3
Если в условиях даны длина одной из сторон треугольника (a), величина лежащего напротив него угла (α) и периметр (P), для вычисления радиуса вписанной окружности задействуйте одну из тригонометрических функций - тангенс. Формула расчета должна содержать разность между половиной периметра и длиной стороны, умноженную на тангенс половины величины угла: r = (P/2-a)*tg(α/2).
4
В прямоугольном треугольнике с известными длинами катетов (a, b) и гипотенузы (c) радиус вписанной окружности (r) вычисляется просто. Сложите длины катетов, вычтите из результата длину гипотенузы и поделите полученную величину пополам: r = (a+b-c)/2.
5
Радиус окружности (r), вписанной в правильный треугольник с известной длиной стороны (a) вычисляется по простой формуле. Правда, в ней присутствует бесконечная дробь, в числителе которой стоит корень из тройки, а в знаменателе - шестерка. На эту дробь умножьте длину стороны: r = a*√3/6.

Совет 2: Как найти длину вписанной окружности в треугольник

Если все точки внутри периметра круга не выходят за пределы периметра треугольника и при этом периметр круга имеет всего по одной общей точке с каждой из сторон треугольника, то окружность называется вписанной в треугольник. Существует всего одно значение радиуса круга, при котором его можно вписать в треугольник с заданными параметрами. Это свойство вписанного круга позволяет по параметрам треугольника вычислить и его параметры, включая длину окружности.
Инструкция
1
Начните вычисление длины вписанной в треугольник окружности (l) с определения ее радиуса (r). Если известна площадь многоугольника (S) и длины всех его сторон (a, b и c), то радиус будет равен отношению удвоенной площади к сумме этих длин r=2*S/(a+b+c).
2
Используйте геометрическое определение константы Пи для вычисления длины окружности по известному значению радиуса. Эта константа выражает отношение длины окружности к ее диаметру, то есть удвоенному радиусу. Значит, для нахождения длины окружности вам следует умножить полученное на предыдущем шаге значение радиуса на удвоенное число Пи. В общем виде эту формулу можно записать так: l=4*π*S/(a+b+c).
3
Если площадь треугольника неизвестна, но дана величина одного из его углов (α) и длины всех сторон (a, b и c), то радиус вписанной окружности (r) можно выразить через тангенс угла α. Для этого сначала сложите длины всех сторон и разделите результат пополам, потом отнимите от полученного значения длину той стороны (a), которая лежит напротив угла известной величины. Полученное число надо умножить на тангенс половины известной величины угла: r=((a+b+c)/2-a)*tg(α/2). Если этой формулой во втором шаге заменить выражение из первого шага, то формула длины окружности примет такой вид: l=2*π*((a+b+c)/2-a)*tg(α/2).
4
Можно обойтись и только длинами сторон треугольника (a, b и c). Но в этом случае для упрощения формулы лучше ввести дополнительную переменную - полупериметр треугольника: p=(a+b+c)/2. С ее помощью радиус вписанной окружности можно выразить как квадратный корень из частного от деления произведения разности полупериметра и длины каждой из сторон на полупериметр: r=√((p-a)*(p-b)*(p-c)/p). А формула длины вписанной окружности в этом случае приобретет такой вид: l=2*π*√((p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Видео по теме
Источники:
  • формула нахождения радиуса вписанной окружности в треугольник
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500