Совет 1: Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями

Существует несколько способов задания плоскости: общее уравнение, направляющие косинусы вектора нормали, уравнение в отрезках и пр. Используя элементы конкретной записи, можно найти расстояние между плоскостями.
Инструкция
1
Плоскость в геометрии можно определить по-разному. Например, это поверхность, любые две точки которой соединяет прямая, которая также состоит из точек плоскости. По другому определению, это множество точек, находящихся на равном удалении от любых двух заданных, не принадлежащих ей.
2
Плоскость – простейшее понятие стереометрии, означающее плоскую фигуру, неограниченно направленную во все стороны. Признак параллельности двух плоскостей заключается в отсутствии пересечений, т.е. две заданные пространственные фигуры не имеют общих точек. Второй признак: если одна плоскость параллельна пересекающимся прямым, принадлежащим другой, то эти плоскости параллельны.
3
Чтобы найти расстояние между двумя параллельными плоскостями, нужно определить длину отрезка, перпендикулярного им. Концами этого отрезка являются точки, принадлежащие каждой плоскости. Кроме того, нормальные вектора также параллельны, а значит, если плоскости заданы общим уравнением, то необходимым и достаточным признаком их параллельности будет равенство отношений координат нормалей.
4
Итак, пусть заданы плоскости A1•х + B1•у + C1•z + D1 = 0 и A2•х + B2•у + C2•z + D2 = 0, где Ai, Bi, Ci – координаты нормалей, а D1 и D2 – расстояния от точки пересечения координатных осей. Плоскости параллельны, если:A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, а расстояние между ними можно найти по формуле:d = |D2 – D1|/√(|A1•A2| + B1•B2 + C1•C2).
5
Пример: даны две плоскости х + 4•у - 2•z + 14 = 0 и -2•х - 8•у + 4•z + 21 = 0. Определить, параллельны ли они. Если да, то найти расстояние между ними.
6
Решение.A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = -1/2 – плоскости параллельны. Обратите внимание на присутствие коэффициента -2. Если D1 и D2 соотносятся друг с другом с тем же коэффициентом, то плоскости совпадают. В нашем случае это не так, поскольку 21•(-2) ≠ 14, следовательно, можно найти расстояние между плоскостями.
7
Разделите для удобства второе уравнение на величину коэффициента -2:х + 4•у - 2•z + 14 = 0;х + 4•у - 2•z – 21/2 = 0.Тогда формула примет вид:d = |D2 – D1|/√(A² + B² + C²) = |14 + 21/2|/√(1 + 16 + 4) ≈ 5,35.

Совет 2: Как найти расстояние между параллельными плоскостями

При решении геометрических и практических задач иногда требуется найти расстояние между параллельными плоскостями. Так, например, высота комнаты – это, фактически, расстояние между потолком и полом, которые представляют собой параллельные плоскости. Примером параллельных плоскостей являются также противоположные стены, обложки книги, стенки коробок и многое другое.
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - чертежный треугольник с прямым углом;
  • - калькулятор;
  • - циркуль.
Инструкция
1
Чтобы найти расстояние между двумя параллельными плоскостями:• проведите прямую, перпендикулярную одной из плоскости;• определите точки пересечения этой прямой с каждой из плоскостей;• измерьте расстояния между этими точками.
2
Чтобы провести прямую, перпендикулярную плоскости, воспользуйтесь следующим методом, позаимствованным из начертательной геометрии:• выберите на плоскости произвольную точку;• проведите через эту точку две пересекающиеся прямые;• постройте прямую перпендикулярную одновременно обеим пересекающимся прямым.
3
Если параллельные плоскости расположены горизонтально, например, пол и потолок дома, то для измерения расстояния воспользуйтесь отвесом. Для этого:• возьмите нитку, длиной заведомо большей измеряемого расстояния;• привяжите к одному из ее концов небольшой грузик;• перекиньте нить через гвоздик или провод, расположенные поблизости от потолка, или придержите нить пальцем;• опускайте грузик до тех пор, пока он не коснется пола;• зафиксируйте точку нити когда грузик опустится до пола (например, завяжите узелок);• измерьте расстояние между отметкой и концом нити с грузом.
4
Если плоскости заданы аналитическими уравнениями, то найдите расстояние между ними следующим образом:• пусть А1*х + В1*у + С1*z + D1 = 0 и А2*х + В2*у + С2*z + D2 = 0 – уравнения плоскостей в пространстве;• так как для параллельных плоскостей множители при координатах равны, то перепишите эти уравнения в следующем виде: А*х + В*у + С*z + D1 = 0 и А*х + В*у + С*z + D2 = 0;• воспользуйтесь следующей формулой для нахождения расстояния между этими параллельными плоскостями:s = |D2-D1|/√(A²+B²+C²), где:|| - стандартное обозначение модуля (абсолютного значения) выражения.
5
Пример: Определите расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями:6х+6у-3z+10=0 и 6х+6у-3z+28=0.Решение: Подставьте параметры из уравнений для плоскостей в вышеприведенную формулу. Получится: s = |28-10|/√(6²+6²+(-3)²) = 18/√81 = 18/9 = 2.Ответ: Расстояние между параллельными плоскостями – 2 (единицы измерения).
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500