Совет 1: Как найти сторону треугольника, зная две стороны

Треугольник составляют три отрезка, соединенных своими крайними точками. Нахождение длины одного из этих отрезков - сторон треугольника - очень распространенная задача. Знания лишь длин двух сторон фигуры недостаточно для вычисления длины третьей, для этого необходим еще один параметр. Это может быть величина угла в одной из вершин фигуры, ее площадь, периметр, радиус вписанной или описанной окружностей и т. д.
Инструкция
1
Если известно, что треугольник является прямоугольным, это дает вам знание величины одного из углов, т.е. недостающего для расчетов третьего параметра. Искомая сторона (C) может быть гипотенузой - стороной, лежащей напротив прямого угла. Тогда для ее вычисления извлеките квадратный корень и возведенных в квадрат и сложенных длин двух других сторон (A и B) этой фигуры: C=√(A²+B²). Если же искомая сторона является катетом, квадратный корень извлекайте из разности между квадратами длин большей (гипотенузы) и меньшей (второго катета) сторон: C=√(A²-B²). Эти формулы вытекают из теоремы Пифагора.
2
Знание в качестве третьего параметра периметра треугольника (P) сводит задачу вычисления длины недостающей стороны (С) к простейшей операции вычитания - отнимите от периметра длины обеих (A и B) известных сторон фигуры: C=P-A-B. Эта формула следует из определения периметра, который является длиной ломаной линии, ограничивающей площадь фигуры.
3
Наличие в исходных условиях величины угла (γ) между сторонами (A и B) известной длины потребует для нахождения длины третьей (С) вычисления тригонометрической функции. Возведите обе длины сторон в квадрат и сложите результаты. Затем из полученного значения вычтите произведение их же длин на косинус известного угла, а в завершение извлеките из полученной величины квадратный корень: С = √(A²+B²-A*B*cos(γ)). Теорема, которую вы использовали в расчетах, называется теоремой синусов.
4
Известная площадь треугольника (S) потребует использования трех формул. Первая определяет площадь, как половину произведения длины известных сторон (A и B) на синус угла между ними. Выразите из нее синус угла, и вы получите выражение 2*S/(A*B). Вторая формула позволит выразить косинус того же угла: так как сумма квадратов синуса и косинуса одинакового угла равна единице, косинус равен корню из разницы между единицей и квадратом полученного ранее выражения: √(1-(2*S/(A*B))²). Третья формула - теорема косинусов - была использована в предыдущем шаге, замените в ней косинус полученным выражением и вы будете иметь такую формулу для расчета: С = √(A²+B²-A*B*√(1-(2*S/(A*B))²)).

Совет 2: Как узнать третью сторону треугольника

Замкнутая геометрическая фигура из трех углов ненулевой величины называется треугольником. Знания размеров двух ее сторон недостаточно для вычисления длины третьей стороны, надо знать еще и величину хотя бы одного из углов. В зависимости от взаимного расположения известных сторон и угла для расчетов следует применять разные методы.
Инструкция
1
Если из условий задачи кроме длин двух сторон (A и C) в произвольном треугольнике известна и величина угла между ними (β), то примените для нахождения длины третьей стороны (B) теорему косинусов. Сначала возведите длины сторон в квадрат и сложите полученные величины. От этого значения отнимите удвоенное произведение длин этих сторон на косинус известного угла, а из того, что останется, извлеките квадратный корень. В общем виде формулу можно записать так: B=√(A²+C²-2*A*C*cos(β)).
2
Если дана величина угла (α), лежащего напротив более длинной (A) из двух известных сторон, то начните с вычисления величины угла, противолежащего другой известной стороне (B). Если исходить из теоремы синусов, то его величина должна быть равна arcsin(sin(α)*B/A), а это значит, что величина угла, лежащего напротив неизвестной стороны, будет составлять 180°-α-arcsin(sin(α)*B/A). Следуя для нахождения искомой длины все той же теореме синусов, перемножьте длину наибольшей стороны на синус найденного угла и поделите на синус известного из условий задачи угла: C=A*sin(α-arcsin(sin(α)*B/A))*sin(α).
3
Если дана величина угла (α), прилегающего к стороне неизвестной длины (C), а две другие стороны имеют одинаковые и известные по условию задачи размеры (A), то формула расчета будет значительно проще. Найдите удвоенное произведение известной длины на косинус известного угла: C=2*A*cos(α).
4
Если рассматривается прямоугольный треугольник и известны длины двух его катетов (А и В), то для нахождения длины гипотенузы (С) воспользуйтесь теоремой Пифагора. Извлеките квадратный корень из суммы возведенных в квадрат длин известных сторон: С=√(А²+В²).
5
Если в прямоугольном треугольнике известны длины одного из катетов (B) и гипотенузы (C), то для расчета длины другого катета исходите из той же теоремы. Извлеките квадратный корень из разности между возведенными в квадраты длинами гипотенузы и известного катета: С=√(C²-В²).

Совет 3: Как найти сторону треугольника

Сторона треугольника – это прямая, ограниченная его вершинами. Всего их у фигуры три, это число определяет количество практически всех графических характеристик: угла, медианы, биссектрисы и т.д. Чтобы найти сторону треугольника, следует внимательно изучить начальные условия задачи и определить, какие из них могут стать основными или промежуточными величинами для расчета.
Инструкция
1
Стороны треугольника, как и других многоугольников, имеют собственные названия: боковые стороны, основание, а также гипотенуза и катеты у фигуры с прямым углом. Это облегчает расчеты и формулы, делая их более очевидными даже если треугольник произвольный. Фигура графическая, поэтому ее всегда можно расположить так, чтобы сделать решение задачи более наглядным.
2
Стороны любого треугольника связаны между собой и другими его характеристиками различными соотношениями, которые помогают вычислить требуемую величину в одно или несколько действий. При этом чем сложнее задача, тем длиннее последовательность шагов.
3
Решение упрощается, если треугольник стандартный: слова «прямоугольный», «равнобедренный», «равносторонний» сразу выделяют определенную взаимосвязь между его сторонами и углами.
4
Длины сторон в прямоугольном треугольнике связаны между собой теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. А углы, в свою очередь, связаны со сторонами теоремой синусов. Она утверждает равенство отношений между длинами сторон и тригонометрической функцией sin противолежащего угла. Впрочем, это верно для любого треугольника.
5
Две стороны равнобедренного треугольника равны между собой. Если их длина известна, вполне достаточно еще только одной величины, чтобы найти третью. Например, пусть известна высота, проведенная к ней. Этот отрезок делит третью сторону на две равные части и выделяет два прямоугольных треугольниках. Рассмотрев один из них, по теореме Пифагора найдите катет и умножьте на 2. Это и будет длина неизвестной стороны.
6
Сторону треугольника можно найти через другие стороны, углы, длины высоты, медианы, биссектрисы, величину периметра, площади, радиус вписанной окружности и т.д. Если нельзя сразу применить одну формулу, то произведите ряд промежуточных вычислений.
7
Рассмотрите пример: найдите сторону произвольного треугольника, зная медиану ma=5, проведенную к ней, и длины двух других медиан mb=7 и mc=8.
8
РешениеЗадача предполагает использование формул для медианы. Найти нужно сторону а. Очевидно, следует составить три уравнения с тремя неизвестными.
9
Запишите формулы для всех медиан:ma = 1/2•√(2•(b² + c²) – a²) = 5;mb = 1/2•√(2•(a² + c²) – b²) = 7;mc = 1/2•√(2•(a² + b²) – c²) = 8.
10
Выразите c² из третьего уравнения и подставьте ее во второе:c² = 256 – 2•a² – 2•b² b² = 20 → c² = 216 – a².
11
Возведите обе стороны первого уравнения в квадрат и найдите a, введя выраженные величины:25 = 1/4•(2•20 + 2•(216 – a²) – a²) → a ≈ 11,1.
Источники:
  • стороны треугольника это
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500