Совет 1: Как вычислить угол параллелограмма

У параллелограмма имеется четыре угла. У прямоугольника и квадрата все они равны 90 градусам, у остальных же параллелограммов их значение может быть произвольным. Зная другие параметры фигуры, эти углы можно вычислить.
Инструкция
1
Параллелограмм -это фигура, у которой противоположные стороны, а также углы равны и параллельны. Существует четыре вида параллелограмма, причем три из них являются частным случаем этой фигуры. У классического параллелограмма два острых и два тупых угла. У квадрата и прямоугольника все углы прямые. Ромб аналогичен классическому параллелограмму и отличается от него лишь тем, что является равносторонним. Все параллелограммы, независимо от вида, имеют ряд общих свойств. Во-первых, диагонали этой фигуры всегда пересекаются в точке, совпадающей с их серединами. Во-вторых, в любом параллелограмме противоположные углы равны.
2
В ряде задач дан классический параллелограмм с двумя перекрещивающимися между собой диагоналями. Из условия известны две его стороны и площадь. Этого достаточно, чтобы найти один из углов фигуры. Формула связи между площадью, сторонами и углом выглядит так:S=a*b*sin α, где a - длина параллелограмма, b - ширина, α - острый угол, S - площадь.Преобразуйте эту формулу следующим образом:α=arcsin(S/ab).Значение тупого угла β найдите, вычтя значение острого из 180 градусов:β=180-α.
3
Углы прямоугольника и квадрата находить не требуется - они всегда равны 90°. У ромба же углы могут быть различными, но в связи с одинаковыми длинами всех четырех сторон формула может быть упрощена:S=a^2*sin α, где a - сторона ромба, α - острый угол, S - площадь.Соответственно, угол α равен значению:α=arcsin(S/a^2).Значение тупого угла найдите способом, указанным выше.
4
Если в параллелограмме или ромбе провести высоту, образуется прямоугольный треугольник. Сторона параллелограмма будет гипотенузой, а высота - катетом этого треугольника. Отношение этого катета к гипотенузе равно синусу угла параллелограмма:sinα=h/c.Отсюда угол α равен:α=arcsin(h/c).

Совет 2: Как найти острый угол параллелограмма

Параллелограмм - это плоская геометрическая фигура, образуемая пересечением двух пар параллельных между собой прямых линий. Все свойства этого четырехугольника обуславливаются именно этим его отличительным свойством - параллельностью противоположных сторон. Из нее вытекают, в частности, попарное равенство длин сторон и одинаковость противолежащих углов. Эти свойства значительно упрощают вычисление величин углов в вершинах фигуры.
Инструкция
1
Если требуется вычислить величину острого (α) угла в параллелограмме, величина хотя бы одного из углов (β) которого известна, то исходите из того, что сумма всех четырех углов обязана быть равна 360°. Поскольку одно из основных свойств этой фигуры заключается в одинаковости противоположных вершин, то для вычисления величин углов в паре неизвестных сторон разделите пополам разность между 360° и удвоенной величиной известного угла: α=(360°-2*β)/2.
2
Если нужно определить величину острого угла (α) в параллелограмме, в котором известны длины смежных сторон (А и В) и меньшей из диагоналей (d), то рассмотрите треугольник, образованный этими тремя отрезками. Косинус нужного вам угла будет равен соотношению между суммой возведенных в квадрат длин сторон, из которых вычтена возведенная в квадрат длина диагонали, и удвоенным произведением этих же двух сторон - это вытекает из теоремы косинусов. Тригонометрическая функция, которая по значению косинуса угла восстанавливает его величину в градусах, называется арккосинусом. Ее и примените к соотношению, полученному с помощью теоремы косинусов: α=arccos((А²+В²-d²)/(2*А*В)).
3
Если, как и в предыдущем варианте, известны длины смежных сторон (А и В), а вместо короткой диагонали дана величина длинной (D), то алгоритм немного усложнится. Напротив длинной диагонали лежит тупой угол параллелограмма, поэтому сначала вычислите его величину по формуле из предыдущего шага, а затем примените формулу из первого шага. В общем виде формулу можно записать так: α=(360°-2*arccos((А²+В²-D²)/(2*А*В)))/2.
4
Если кроме длин смежных сторон параллелограмма (А и В) известна его площадь (S), то этого достаточно для вычисления величины острого угла (α). Синус этого угла рассчитайте из соотношения между площадью и произведением длин сторон, а затем примените к результату функцию арксинус - она работает аналогично арккосинусу: α=arcsin(S/(А*В)).
Видео по теме

Совет 3: Как найти диагональ параллелограмма, если даны стороны

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Прямые, соединяющие его противоположные углы, называются диагоналями. Их длина зависит не только от длин сторон фигуры, но и от величин углов в вершинах этого многоугольника, поэтому без знания хотя бы одного из углов вычислить длины диагоналей можно только в исключительных случаях. Таковыми являются частные случаи параллелограмма - квадрат и прямоугольник.
Инструкция
1
Если длины всех сторон параллелограмма одинаковы (a), то эту фигуру можно назвать еще и квадратом. Величины всех его углов равны 90°, а длины диагоналей (L) одинаковы и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Умножьте длину стороны квадрата на корень из двойки - результат и будет длиной каждой из его диагоналей: L=a*√2.
2
Если о параллелограмме известно, что он является прямоугольником с указанными в условиях длиной (a) и шириной (b), то и в этом случае длины диагоналей (L) будут равны. И здесь тоже задействуйте теорему Пифагора для треугольника, в котором гипотенузой является диагональ, а катетами - две смежные стороны четырехугольника. Искомую величину рассчитайте извлечением корня из суммы возведенных в квадрат ширины и высоты прямоугольника: L=√(a²+b²).
3
Для всех остальных случаев знания одних только длин сторон хватит лишь для определения величины, включающей в себя длины сразу обеих диагоналей - сумма их квадратов по определению равна удвоенной сумме квадратов длин сторон. Если же в дополнение к длинам двух смежных сторон параллелограмма (a и b) известен еще и угол между ними (γ), то это позволит рассчитать длины каждого отрезка, соединяющего противоположные углы фигуры. Длину диагонали (L₁), лежащей напротив известного угла, найдите по теореме косинусов - сложите квадраты длин смежных сторон, от результата отнимите произведение этих же длин на косинус угла между ними, а из полученной величины извлеките квадратный корень: L₁ = √(a²+b²-2*a*b*cos(γ)). Для нахождения длины другой диагонали (L₂) можно воспользоваться свойством параллелограмма, приведенным в начале этого шага - удвойте сумму квадратов длин двух сторон, от результата отнимите квадрат уже рассчитанной диагонали, а из полученного значения извлеките корень. В общем виде эту формулу можно записать так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a²-b²+2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).
Источники:
  • как найти длину диагонали параллелограмма

Совет 4: Как найти площадь параллелограмма, если известны только его стороны

Параллелограмм считается определенным, если заданы одно из его оснований и боковая сторона, а также угол между ними. Задачу можно решить и методами векторной алгебры (тогда не потребуется даже чертежа). При этом основание и боковую сторону необходимо задать векторами и использовать геометрическую интерпретацию векторного произведения. Если же заданы лишь длины сторон – задача не имеет однозначного решения.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
параллелограмма/b, если известны только его emстороны/em" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> 1-й способ (геометрический).Дано: параллелограмм АВСD задан длиной основания AD=|a|, длиной боковой стороны AB=|b| и углом между ними ф (рис. 1). Как известно, площадь параллелограмма определяется выражением S=|a|h, причем из треугольника ABF: h=BF=ABsinф=|b|sinф. Итак, S=|a||b|sinф.Пример 1. Пусть AD=|a|=8, AB=|b|=4, ф=п/6. Тогда S=8*4*sin(1/2)=16 кв. ед.
2
2-й способ (векторный).Векторное произведение определяется как вектор ортогональный членам своего произведения и чисто геометрически (численно) совпадающий с площадью параллелограмма, построенного на его составляющих. Дано: параллелограмм задан векторами двух его сторон a и b в соответствии с рис. 1. Для совпадения данных с примером 1 – пусть в координатах a(8, 0) и b(2sqrt(3, 2)).Для вычисления векторного произведения в координатной форме, используется вектор-определитель (см. рис.2).
3
Учитывая, что a(8,0,0), b(2sqrt(3,2),0,0), т.к. ось 0z «смотрит» прямо на нас с плоскости рисунка, а сами векторы лежат в плоскости 0xy.Для того чтобы не ошибаться лишний раз, перепишите результат в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx); и в координатах:{nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.Более того, дабы не путаться с численными примерами, выпишите все по отдельности. nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. Подставив имеющиеся в условии значения, получите: nx=0, ny=0, nz=16. В данном случае S=|nz|=16 ед. кв.
Источники:
  • площадь параллелограмма если известны стороны

Совет 5: Как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

На любых двух неколлинеарных и ненулевых векторах можно построить параллелограмм. Эти два вектора будут стягивать параллелограмм, если совместить их начала в одной точке. Достройте стороны фигуры.
Инструкция
1
Найдите длины векторов, если заданы их координаты. Пусть, например, вектор A имеет координаты (a1,a2) на плоскости. Тогда длина вектора A равна |A|=√(a1²+a2²). Аналогично находится модуль вектора B: |B|=√(b1²+b2²), где b1 и b2 – координаты вектора B на плоскости.
2
Площадь параллелограмма находится по формуле S=|A|•|B|•sin(A^B), где A^B – угол между заданными векторами A и B. Синус можно найти через косинус, используя основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1. Косинус же можно выразить через скалярное произведение векторов, записанное в координатах.
3
Скалярное произведение вектора A на вектор B обозначается как (A,B). По определению, оно равно (A,B)=|A|•|B|•cos(A^B). А в координатах скалярное произведение записывается так: (A,B)=a1•b1+a2•b2. Отсюда можно выразить косинус угла между векторами: cos(A^B)=(A,B)/|A|•|B|=(a1•b1+a2•b2)/√(a1²+a2²)•√(a2²+b2²). В числителе – скалярное произведение, в знаменателе – длины векторов.
4
Теперь можно выразить синус из основного тригонометрического тождества: sin²α=1-cos²α, sinα=±√(1-cos²α). Если предположить, что угол α между векторами – острый, «минус» при синусе можно отбросить, оставив только знак «плюс», поскольку синус острого угла может быть только положительным (или нулевым при нулевом угле, но здесь угол ненулевой, это отображается в условии неколлинеарности векторов).
5
Теперь надо подставить координатное выражение для косинуса в формулу синуса. После этого останется лишь записать результат в формулу площади параллелограмма. Если всё это проделать и упростить числовое выражение, то получится, что S=a1•b2-a2•b1. Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах A(a1,a2) и B(b1,b2), находится по формуле S=a1•b2-a2•b1.
6
Полученное выражение является детерминантом матрицы, составленной из координат векторов A и B:a1 a2b1 b2.
7
Действительно, чтобы получить определитель матрицы размерности два, нужно перемножить элементы главной диагонали (a1,b2) и вычесть из этого произведение элементов побочной диагонали (a2,b1).
Видео по теме

Совет 6: Как доказать, что параллелограмм - прямоугольник

Прямоугольник представляет собой частный случай параллелограмма. Любой прямоугольник является параллелограммом, но не каждый параллелограмм – прямоугольник. Доказать, что параллелограмм является прямоугольником, можно, используя признаки равенства треугольников.
Инструкция
1
Вспомните определение параллелограмма. Это четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны. Кроме того, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Этим же свойством обладает и прямоугольник, только он должен соответствовать еще одному условию. Углы, прилежащие к одной стороне, у него равны и составляют каждый 90°. То есть в любом случае вам нужно будет доказать именно то, что у заданной фигуры не только стороны параллельны и равны, но все углы являются прямыми.
2
Начертите параллелограмм АВСD. Разделите сторону АВ пополам и поставьте точку М. Соедините ее с вершинами углов С и D. Вам нужно доказать, что углы МАС и МВD равны. Сумма их, согласно определению параллелограмма, составляет 180°. Для начала же вам надо доказать равенство треугольников МАС и МВD, то есть что отрезки МС и MD равны между собой.
Начертите параллелограмм и сделайте дополнительные построения
3
Сделайте еще одно построение. Разделите сторону СD пополам и поставьте точку N. Рассмотрите внимательно, из каких геометрических фигур состоит теперь исходный параллелограмм. Он составлен из двух параллелограммов AMND и MBCN. Его можно представить и состоящим из треугольников DMB, МАС и МВD. То, что AMND и MBCN являются одинаковыми параллелепипедами, можно доказать, исходя из свойств параллелепипеда. Отрезки АМ и МВ равны, отрезки NC и ND равны тоже и представляют они собой половинки противоположных сторон параллелепипеда, которые по определению одинаковы. Соответственно, линия MN будет равна сторонам AD и ВС и параллельна им. А значит, у этих одинаковых параллелепипедов диагонали будут равны, то есть отрезок MD равен отрезку MC.
4
Сравните треугольники МАС и МВD. Вспомните признаки равенства треугольников. Их три, и в данном случае удобнее всего доказывать равенство по трем сторонам. Стороны МА и МB одинаковы, поскольку точка М находится как раз на середине отрезка AB. Стороны АD и BC равны по определению параллелограмма. Равенство сторон MD и MC вы доказали в предыдущем шаге. То есть треугольники равны, а это значит, что равны и все их элементы, то есть угол МАD равен углу МВС. Но эти углы прилежат к одной стороне, то есть сумма их составляет 180°. Разделив это число пополам, вы получите размер каждого угла - 90°. То есть все углы данного параллелограмма являются прямыми, а это значит, что он представляет собой прямоугольник.

Совет 7: Как выглядит тупой угол

Углом в геометрии принято называть фигуру, которая образована двумя выходящими из одной и той же точки лучами. Есть много видов углов, но в школьном курсе геометрии чаще всего приходится иметь дело с прямым, тупым или острым углами, а также развернутым и полным.

Как образуются углы


Чтобы построить угол, возьмите лист бумаги, проведите по линейке прямую и поставьте на ней произвольную точку. Проведите еще одну прямую, которая будет проходить через эту же точку. У вас получилось несколько углов на одной и той же плоскости. Среди них обязательно есть полный и развернутый углы. Что касается других видов, то тут возможны варианты. Например, если ваши линии перпендикулярны друг другу, все углы между ними будут прямыми, то есть равными 90°. Если же линии не перпендикулярны, у вас на чертеже обязательно будут два вида углов – тупые и острые.

Размеры углов


Полный угол составляет 360°. Можно провести, например, такой эксперимент. Возьмите кусок шнура, карандаш и кнопку. Кнопкой приколите шнур к листу бумаги. Второй конец шнура привяжите к карандашу. Натяните шнур и поставьте карандашом точку. Представьте, что веревочка – это луч, исходящий из обозначенной вами точки. Ведите карандаш по часовой стрелке до тех пор, пока он не окажется в исходной точке. Наблюдайте, каким образом движется шнур. Убрав кнопку и шнур, вы увидите окружность. То есть для того, чтобы получился полный угол, прямая должна описать круг. Направления лучей, образующих полный угол, совпадают. Чтобы получить развернутый угол, прямая должна описать полукруг, то есть этот угол составляет 180°. В прямом угле 90° - это четверть полного угла и половинка развернутого.

Тупой и острый углы


Начертите развернутый угол. Это – обычная прямая. Поставьте на линии точку. Пунктирной линией проведите к этой линии перпендикуляр. Это вспомогательная линия, необходимая для того, чтобы оценить размеры остальных углов. Через точку пересечения проведите еще одну линию, не совпадающую с перпендикуляром. Рассмотрите оба угла, составляющих развернутый. Один из них меньше прямого угла, второй – больше. Первый называется острым, второй – тупым. То есть тупым называется угол, который больше прямого, но меньше развернутого.

Где встречаются тупые углы


Тупые углы можно видеть в разных геометрических фигурах. Например, существуют тупоугольные треугольники, у которых один угол – тупой, два другие – острые. Тупой угол может быть образован и сторонами ромба, ведь у этой геометрической фигуры сумма внутренних углов, принадлежащих одной стороне, составляет 180°. Соответственно, если ромб не является квадратом, к каждой его стороне прилегают один острый угол и один тупой. Этот вид углов встречается и у других многоугольников.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500