Инструкция
1
Метод выделения полного квадрата применяется как для упрощения выражений, так и при решении квадратного уравнения, которое, по сути, является трехчленом второй степени от одной переменной. В основе метода лежат некоторые формулы сокращенного умножения многочленов, а именно частные случаи Бинома Ньютона – квадрат суммы и квадрат разности:(а ∓ b)² = а² ∓ 2•а•b + b².
2
Рассмотрим применение метода для решения квадратного уравнения вида а•х² + b•х + с = 0. Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена, разделите обе части уравнения на коэффициент при наибольшей степени, т.е. при х²:а•х² + b•х + с = 0 /а → х² + (b/а)•х + с/а = 0.
3
Представьте полученное выражение в виде:(х² + 2•(b/2а)•х + (b/2а)²) – (b/2а)² + с/а = 0, где одночлен (b/а)•х преобразован в удвоенное произведение элементов b/2а и х.
4
Сверните первую скобку в квадрат суммы:(х + b/2а)² – ((b/2а)² – с/а) = 0.
5
Теперь возможны две ситуации нахождения решения: если (b/2а)² = с/а, то уравнение имеет единственный корень, а именно х = -b/2а. Во втором случае, когда (b/2а)² = с/а, решений будет следующим:(х + b/2а)² = ((b/2а)² – с/а) → х = -b/2а + √((b/2а)² – с/а) = (-b + √(b² – 4•а•с))/(2•а).
6
Двойственность решения вытекает из свойства квадратного корня, результат вычисления которого может быть как положительным, так и отрицательным, в то время как модуль остается неизменным. Таким образом, получается два значения переменной:х1,2 = (-b ± √(b² – 4•а•с))/(2•а).
7
Так, используя метод выделения полного квадрата, мы пришли к понятию дискриминанта. Очевидно, что он может быть либо нулем, либо положительным числом. При отрицательном дискриминанте уравнение не имеет решений.
8
Пример: выделить квадрат двучлена в выражении х² – 16•х + 72.
9
РешениеПерепишите трехчлен в виде х² – 2•8•х + 72, откуда следует, что составляющими полного квадрата двучлена являются 8 и х. Следовательно, для его завершения нужно еще число 8² = 64, которое можно вычесть из третьего члена 72: 72 – 64 = 8. Тогда исходное выражение преобразуется в:х² – 16•х + 72 → (х - 8)² + 8.
10
Попробуйте решить это уравнение:(х-8)² = -8 < 0 → действительных корней нет.