Совет 1: Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Вычисление пределов с применением способов дифференциального исчисления основывается на правиле Лопиталя. При этом известны примеры, когда это правило не применимо. Поэтому остается актуальной и задача вычисления пределов обычными способами.
Инструкция
1
Непосредственное вычисление пределов связано, в первую очередь, с пределами рациональных дробей Qm(x)/Rn(x), где Q и R многочлены. Если вычисляется предел при х →a (a – число), то может возникнуть неопределенность, например [0/0]. Для ее устранения просто поделите числитель и знаменатель на (х-а). Операцию повторяйте до тех пор, пока неопределенность не пропадет. Деление многочленов осуществляется практически так же, как и деление чисел. Оно основано на том, что деление и умножение – обратные операции. Пример приведен на рис. 1.
Как вычислить <b>пределы</b> <em>функций</em>, не пользуясь средствами дифференциального <strong>исчисления</strong>
2
Применение первого замечательного предела. Формула для первого замечательного предела приведена на рис. 2а. Для его применения приведите выражение вашего примера к соответствующему виду. Это всегда можно сделать чисто алгебраически или заменой переменной. Главное - не забывайте, что если синус берется от kx, то и знаменатель тоже kx. Пример рассмотрен на рис. 2e.Кроме того, если учесть, что tgx=sinx/cosx, cos0=1, то, как следствие, появляется формула (см. рис. 2b). arcsin(sinx)=x и arctg(tgx)=x. Поэтому имеются еще два следствия (рис 2с. и 2d). Возник еще достаточно широкий набор способов вычисления пределов.
Как вычислить <b>пределы</b> <em>функций</em>, не пользуясь средствами дифференциального <strong>исчисления</strong>
3
Применение второго замечательно предела (см. рис. 3а)Пределы такого типа используются для устранения неопределенностей типа [1^∞]. Для решения соответствующих задач просто преобразуйте условие до структуры, соответствующей виду предела. Помните, что при возведении в степень выражения, уже находящегося в какой-либо степени, их показатели перемножаются. Соответствующий пример приведен на рис. 2е.Примените подстановку α=1/х и получите следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Прологарифмировав по основанию а обе части этого следствия, придете ко второму следствию, в том числе и при а=е (см. рис. 2с). Сделаете замену а^x-1=y. Тогда x=log(a)(1+y). При стремлении х к нулю, у также стремится к нулю. Поэтому возникает и третье следствие (см. рис. 2d).
Как вычислить <b>пределы</b> <em>функций</em>, не пользуясь средствами дифференциального <strong>исчисления</strong>
4
Применение эквивалентных бесконечно малых.Бесконечно малые функции эквивалентны при х →а, если предел их отношения α(х)/γ(х) равен единице. При вычислении пределов с помощью таких бесконечно малых просто запишите γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – это бесконечно малая более высокого порядка малости, чем α(x). Для нее lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для выяснения эквивалентности используйте те же замечательные пределы. Метод позволяет существенно упростить процесс нахождения пределов, сделав его более прозрачным.

Совет 2: Как найти пределы по правилу лопиталя

Краткая историческая справка: маркиз Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь обожал математику и был настоящим меценатом для известных ученых. Так Иоганн Бернулли был его постоянным гостем, собеседником и даже сотрудником. Существует предположение, что Бернулли подарил право авторства известного правила Лопиталю в знак благодарности за его услуги. В пользу этой точки зрения говорит тот факт, что доказательство к правилу было официально опубликовано спустя 200 лет еще одним известным математиком Коши.
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага.
Инструкция
1
Правило Лопиталя заключается в следующем: предел отношения функций f(x) и g(x), при х стремящемуся к точке а, равен соответствующему пределу отношения производных этих функций. При этом значение g(a) не равно нулю, как и значение ее производной в этой точке (g’(a)). Кроме того предел g’(a) существует. Аналогичное правило действует и при x, стремящемуся к бесконечности. Таким образом можно записать (см. рис.1):
рис.1
2
Правило Лопиталя позволяет устранять неопределенности типа ноль делить на ноль и бесконечность делить на бесконечность ([0/0], [∞/∞] Если на уровне первых производных вопрос еще не разрешен, следует использовать производные второго и даже большего порядка.
3
Пример 1. Найти предел при х стремящемуся к 0 отношения sin^2(3x)/tg(2x)^2.
Здесь f(x)=sin^2(3x), g(x)=tg(2x)^2. f’(x)=2•3sin3xcos3x=6sin3xcos3x, g’(x)=4x/cos^2(2x)^2. lim(f’(x)/g’(x))=lim(6sin3x/4x), так как cos(0)=1. (6sin3x)’=18cos3x, (4x)’=4. Итак (см. рис. 2):
рис.2
4
Пример 2. Найти предел на бесконечности рациональной дроби (2x^3+3x^2+1)/(x^3+4x^2+5x+7). Ищем отношение первых производных. Это (6x^2+6x)/(3x^2+8x+5). Для вторых производных (12x+6)/(6x+8). Для третьих 12/6=2 (см. рис.3).
рис.3
5
Остальные неопределенности, на первый взгляд, не подлежат раскрытию с помощью правила Лопиталя, т.к. не содержат отношения функций. Однако некоторые предельно простые алгебраические преобразования могут помочь устранить их. Прежде всего можно ноль умножить на бесконечность [0•∞]. Любую функцию q(x) → 0 при х → а можно переписать в виде
q(x)=1/(1/q(x)) и здесь (1/q(x))→∞.
6
Пример 3.
Найти предел (см. рис.4)
В данном случае есть неопределенность ноль умножить на бесконечность. Преобразовав это выражение получите: xlnx=lnx/(1/x), то есть соотношение вида [∞-∞]. Применив правило Лопиталя, получите отношение производных (1/x)/(-1/x2)=-х. Так как х стремится к нулю, , решение предела будет ответ: 0.
рис.4
7
Неопределенность вида [∞-∞], раскрывается, если имеется в виду разность каких-либо дробей. Приведя эту разность к общему знаменателю, получите некоторое отношение функций.

Неопределенности типа 0^∞, 1^∞, ∞^0 возникают при вычислении пределов функций типа p(x)^q(x). В этом случае применяют предварительное дифференцирование. Тогда логарифм искомого предела А примет вид произведения, возможно, что с готовым знаменателем. Если нет, то можно использовать методику примера 3. Главное не забыть записать окончательный ответ в виде е^А (см. рис.5).
рис.5
Видео по теме
Источники:
  • вычислить предел функции не пользуясь правилом лопиталя
Источники:
  • Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1996. - 496 с.: ил.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500