Совет 1: Как возвести трехчлен в квадрат

Многочлен – алгебраическая структура, представляющая собой сумму или разность элементов. Большинство готовых формул касается двучленов, однако вывести новые для структур более высокого порядка не составляет большого труда. Можно, например, возвести трехчлен в квадрат.
Инструкция
1
Многочлен является основным понятием для решения алгебраических уравнений и представления степенной, рациональной и прочих функций. К этой структуре относится наиболее распространенное в школьном курсе предмета квадратное уравнение.
2
Часто по мере упрощения громоздкого выражения возникает потребность возвести трехчлен в квадрат. Для этого нет готовой формулы, однако есть несколько методов. Например, представить квадрат трехчлена в виде произведения двух одинаковых выражений.
3
Рассмотрите пример: возведите в квадрат трехчлен 3•х² + 4•х – 8.
4
Измените запись (3•х² + 4•х – 8)² на (3•х² + 4•х – 8)•( 3•х² + 4•х – 8) и воспользуйтесь правилом умножения многочленов, которое состоит в последовательном вычислении произведений. Сначала умножьте первое составляющее первой скобки на каждое слагаемое второй, затем так же поступите со вторым и, наконец, с третьим:(3•х² + 4•х – 8)•( 3•х² + 4•х – 8) = 3•х²•(3•х² + 4•х - 8) + 4•х•(3•х² + 4•х – 8) – 8•(3•х² + 4•х – 8) = 9•х^4 + 12•х³ – 24•х² + 12•х³ + 16•х² – 32•х – 24•х² – 32•х + 64 = 9•х^4 + 24•х³ – 32•х² – 64•х + 64.
5
К тому же результату можно придти, если запомнить, что в результате перемножения двух трехчленов остается сумма из шести элементов, три из которых являются квадратами каждого слагаемого, а три остальных – их всевозможными попарными произведениями в удвоенной форме. Эта элементарная формула элементарно выглядит так:(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2•a•b + 2•a•c + 2•b•c.
6
Примените ее к вашему примеру:(3•х² + 4•х - 8)² = (3•х² + 4•х + (-8))² =(3•х²)² + (4•х)² + (-8)² + 2•(3•х²)•(4•х) + 2•(3•х²)•(-8) + 2•(4•х)•(-8) = 9•х^4 + 16•х² + 64 + 24•х³ – 48•х² – 64•х = 9•х^4 + 24•х³ - 32•х² - 64•х + 64.
7
Как видите, ответ получился тот же, а манипуляций потребовалось меньше. Это особенно важно, когда одночлены сами по себе являются сложными структурами. Этот способ применим для трехчлена любой степени и любого количества переменных.

Совет 2: Как возвести дробь в квадрат

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат. Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.
Вам понадобится
  • калькулятор, компьютер, приложение Excel.
Инструкция
1
Чтобы возвести десятичную дробь в квадрат, возьмите инженерный калькулятор, наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х²». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Например, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14² = 9,8596.
2
Чтобы возвести в квадрат десятичную дробь на обычном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена возможность возведения числа в квадрат даже при отсутствии специальной кнопки. Поэтому предварительно ознакомьтесь с инструкцией к конкретному калькулятору. Иногда примеры «хитрого» возведения в степень приведены на задней крышке или на коробке калькулятора. Например, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат достаточно нажать кнопки «х» и «=».
3
Для возведения в квадрат обыкновенной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь следующим правилом:(ч / з)² = ч² / з², где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)² = 3²/4² = 9/16.
4
Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обыкновенной дроби), то предварительно приведите ее к обыкновенному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)² = ((ц*з+ч) / з)² = (ц*з+ч)² / з², где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.
5
Если возводить в квадрат обыкновенные (не десятичные) дроби приходится постоянно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь.Чтобы сообщить программе, что с вводимым числом необходимо обращаться как с обыкновенной дробью (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробью цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, например, дроби 2/3 нужно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непосредственно в клетке сохранится в исходном виде. Кроме того, при использовании математических функций, аргументами которых являются обыкновенные дроби, результат также будет представлен в виде обыкновенной дроби. Следовательно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Совет 3: Как составить магический квадрат

Математические головоломки иногда увлекают так, что хочется научиться создавать их, а не только решать. Пожалуй, самым интересным для новичков является создание магического квадрата, который представляет собой квадрат с размерами сторон nxn, в который вписаны натуральные числа от 1 до n2 так, что сумма чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям квадрата является одинаковой и равняется одному числу.
Инструкция
1
Прежде чем составлять свой квадрат, усвойте, что магических квадратов второго порядка не бывает. Магический квадрат третьего порядка существует фактически только один, остальные производные от него получаются с помощью поворота либо отражения основного квадрата по оси симметрии. Чем больше порядок, тем больше существует возможных волшебных квадратов этого порядка.
2
Изучите основы построения. Правила построения разных магических квадратов подразделяются на три группы по порядку квадрата, а именно он может быть нечетным, равным удвоенному или учетверенному нечетному числу. Общей методики для построения всех квадратов в настоящее время не существует, хотя широко распространены разные схемы.
3
Воспользуйтесь компьютерной программой. Скачайте нужное приложение и введите желаемые значения квадрата (2-3), программа сама генерирует нужные цифровые комбинации.
4
Постройте квадрат самостоятельно. Возьмите матрицу n x n , внутри которой произведите построение ступенчатого ромба. В нем заполните все квадратики слева и вверх по всем диагоналям последовательностью нечетных чисел.
5
Определите значение центральной ячейки О. В углах магического квадрата расположите такие числа: верхняя правая ячейка - О-1, нижняя левая - О+1, правая внизу - О-n, а левая вверху - О+n. Пустые ячейки в угловых треугольниках заполните, используя достаточно простые правила: в строках по направлению слева направо числа увеличиваются на n + 1, а в столбиках по направлению сверху вниз числа увеличиваются на n-1.
6
Обнаружить все квадраты с порядком равным n удается только для n\le 4, поэтому интересны отдельные процедуры для построения магических квадратов с n > 4. Проще всего рассчитать конструирование такого квадрата нечетного порядка. Воспользуйтесь специальной формулой, куда требуется просто поставить необходимые данные для получения желаемого результата.

Например, константа квадрата, построенного по схеме с рис. 1, вычисляется по формуле:

S = 6a1 +105b,
где a1 – первый член прогрессии,
b – разность прогрессии.
рис. 1
7
Для квадрата, изображенного на рис. 2, формула:

S = 6*1 + 105*2 = 216
рис. 2
8
Кроме этого, существуют алгоритмы для построения пандиагональных квадратов и идеальных магических квадратов. Воспользуйтесь специальными программами построения этих моделей.
Обратите внимание
Магические, или волшебные, квадраты привлекали математиков с самых древних времен, но описания всех возможных квадратов нет и по сей день. Самый простой магический квадрат согласно древней китайской легенде был изображен на спине большой священной черепахи.

Совет 4: Как найти квадрат уравнения

«Уравнением» в математике называется запись, содержащую некоторые математические или алгебраические действия и обязательно включающую в себя знак равенства. Однако чаще этим понятием обозначают не тождество в целом, а только его левую часть. Поэтому задача возведения уравнения в квадрат скорее всего предполагает применение этой операции только к одночлену или многочлену в левой части равенства.
Инструкция
1
Умножьте уравнение на само себя - это и есть операция возведения во вторую степень, то есть в квадрат. Если исходное выражение содержит переменные в какой-либо степени, то показатель степени следует увеличить в два раза. Например, (4*x³)² = (4*x³)*(4*x³) = 16*x⁶. Если присутствующие в уравнении численные коэффициенты умножить в уме не представляется возможным, то используйте калькулятор, онлайн-вычислитель или сделайте это на бумаге, «в столбик».
2
Если исходное выражение содержит несколько складываемых или вычитаемых переменных с численными коэффициентами (то есть является многочленом), то придется осуществлять операцию умножения по соответствующим правилам. Это означает, что следует перемножить каждый член уравнения-множимого на каждый член уравнения-множителя, а затем упростить полученное выражение. Тот факт, что в вашем случае оба уравнения одинаковы, ничего не меняет в этом правиле. Например, если возвести в квадрат требуется уравнение x²+4-3*x, то всю операцию можно записать в таком виде: (x²+4-3*x)² = (x²+4-3*x)*(x²+4-3*x) = x⁴+4*x²-3*x³ + 4*x²+16-12*x - 3*x³-12*x+9*x². Полученное выражение следует упростить и, если это возможно, расположить степенные члены в порядке убывания показателя степени: x⁴+4*x²-3*x³ + 4*x²+16-12*x - 3*x³-12*x+9*x² = x⁴ - 6*x³ + 25*x² - 24*x + 16.
3
Формулы возведения в квадрат некоторых наиболее часто встречающихся выражений лучше запомнить наизусть. В школе их обычно включают в список, называемый «формулами сокращенного умножения». В него относят, в частности, формулы возведения во вторую степень суммы двух переменных (x+y)² = x²+2*x*y+y², их разности (x-y)² = x²-2*x*y+y², суммы трех слагаемых (x+y+z)² = x²+y²+z²+2*x*y+2*y*z+2*x*z и разности трех слагаемых (x-y-z)² = x²+y²+z²-2*x*y+2*x*y-2*z.
Видео по теме

Совет 5: Как выделить квадрат двучлена

Метод выделения квадрата двучлена применяется при упрощении громоздких выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обычно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.
Инструкция
1
Метод выделения полного квадрата двучлена основан на использовании двух формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для второй степени и позволяют упростить искомое выражение так, чтобы можно было провести последующее сокращение или разложение на множители:
(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;
(m - n)² = m² - 2·m·n + n².
2
Согласно этому методу из исходного многочлена требуется выделить квадраты двух одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Применение этого метода имеет смысл, если старшая степень слагаемых не меньше 2. Предположим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:
4·y^4 + z^4
3
Для решения задачи нужно воспользоваться методом выделения полного квадрата. Итак, выражение состоит из двух одночленов с переменными четной степени. Следовательно, можно обозначить каждый из них через m и n:
m = 2·y²; n = z².
4
Теперь нужно привести исходное выражение к виду (m + n)². В нем уже присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Нужно добавить его искусственно, а потом вычесть:
(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² - 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².
5
В получившемся выражении можно увидеть формулу разности квадратов:
(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).
6
Итак, метод состоит из двух этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Метод выделения полного квадрата двучлена может применяться не только самостоятельно, но и в комбинации с другими методами: вынесения за скобки общего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.
7
Пример 2.
Выделите полный квадрат в выражении:
4·y² + 2·y·z + z².
Решение.
4·y² + 2·y·z + z² =[m = 2·y, n = z] = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.
8
Метод применяется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y² + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ≠ 0.
a·y² + b·y + c = a·(y² + (b/a)·y) + c = a·(y² + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y² + 2·(b/(2·a))·y + b²/(4·a²)) + c – b²/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ² – (b² – 4·a·c)/(4·a).
9
Эти расчеты приводят к понятию дискриминанта, который равен (b² – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:
y_1,2 = ±(b/(2•a)) ± √ ((b² – 4·a·c)/(4·a)).
Источники:
  • метод выделения полного квадрата

Совет 6: Как выделить из трехчлена квадрат двучлена

Есть несколько методов решения квадратного уравнения, наиболее распространенный – выделить из трехчлена квадрат двучлена. Этот способ приводит к вычислению дискриминанта и обеспечивает одновременный поиск обоих корней.
Инструкция
1
Алгебраическое уравнение второй степени называется квадратным. Классическая форма левой стороны этого уравнения представляет собой многочлен a•x² + b•x + c. Чтобы вывести формулу для решения, необходимо выделить из трехчлена квадрат двучлена. Это можно осуществить двумя способами. Перенесите свободный член с в правую сторону со знаком минус:a•x² + b•x = -c.
2
Умножьте обе стороны уравнения на 4•а:4•a²•x² + 4•a•b•x = -4•a•c.
3
Прибавьте выражение b²:4•a²•x² + 4•a•b•x + b² = -4•a•c + b².
4
Очевидно, что слева получилась развернутая форма квадрата двучлена, состоящего из слагаемых 2•a•x и b. Сверните этот трехчлен в полный квадрат:(2•a•x + b)² = b² – 4•a•c → 2•a•x + b = ±√(b² – 4•a•c)
5
Откуда:x1,2 = (-b ± √(b² – 4•a•c))/2•a.Разность, стоящая под знаком корня, называется дискриминантом, а формула является общеизвестной для решения подобных уравнений.
6
Второй способ подразумевает выделение из одночлена первой степени удвоенного произведения элементов. Т.е. необходимо определить из слагаемого вида b•x, какие множители могут быть использованы для полного квадрата. Этот метод лучше рассмотреть на примере:x² + 4•x + 13 = 0
7
Посмотрите на одночлен 4•x. Очевидно, что его можно представить в виде 2•(2•x), т.е. удвоенного произведения х и 2. Следовательно, выделять нужно квадрат суммы (х + 2). Для полноты картины не хватает слагаемого 4, которое можно взять из свободного члена:x² + 4•x + 4 - 9 → (x + 2)² = 9
8
Извлеките квадратный корень:x + 2 = ±3 → x1 = 1; x2 = -5.
9
Метод выделения квадрата двучлена широко применяется для упрощения громоздких алгебраических выражений наряду с другими способами: группировка, замена переменной, вынесение общего множителя за скобку и т.д. Полный квадрат является одной из формул сокращенного умножения и частным случаем Бинома Ньютона.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500