Совет 1: Как вычислить дисперсию и математическое ожидание

Дисперсия и математическое ожидание являются основными характеристиками случайного события при построении вероятностной модели. Эти величины связаны между собой и в совокупности представляют основу для статистического анализа выборки.
Инструкция
1
Любая случайная величина обладает целым рядом числовых характеристик, определяющих ее вероятность и степень отклонения от истинного значения. Это начальные и центральные моменты разного порядка. Первый начальный момент называется математическим ожиданием, а центральный момент второго порядка – дисперсией.
2
Математическое ожидание случайной величины представляет собой ее среднее ожидаемое значение. Также эту характеристику называют центром распределения вероятностей и находят путем интегрирования по формуле Лебега-Стильтьеса:m = ∫xdf(x), где f(x) – функция распределения, значениями которой являются вероятности элементов множества x ∈ X.
3
Исходя из начального определения интеграла функции, математическое ожидание можно представить в виде интегральной суммы числового ряда, члены которого состоят из пар элементов множеств значений случайной величины и ее вероятностей в этих точках. Пары связаны операцией умножения: m = Σxi•pi, интервал суммирования составляет i от 1 до ∞.
4
Приведенная формула является следствием из интеграла Лебега-Стильтьеса для случая, когда анализируемая величина X дискретная. Если же она целочисленная, то вычислить математическое ожидание можно через производящую функцию последовательности, которая равна первой производной функции распределения вероятностей при x=1:m = f’(x) = Σk•p_k при 1 ≤ k < ∞.
5
Дисперсия случайной величины используется для оценки среднего значения квадрата ее отклонения от математического ожидания, а точнее - ее разброса вокруг центра распределения. Таким образом, эти две величины оказываются связанными формулой:d = (x - m)² .
6
Подставив в нее уже известное представление математического ожидания в виде интегральной сумме, можно вычислить дисперсию следующим образом:d = Σpi•(xi - m)².

Совет 2: Как найти математическое ожидание, если известна дисперсия

В теории вероятности одним из основных является понятие математического ожидания. Найти его по формуле бывает не так уж и просто, поэтому использовать классическое определение не рекомендуется. Рациональнее находить математическое ожидание через дисперсию.
Вам понадобится
  • - руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике В.Е.Гмурмана.
Инструкция
1
Случайные величины помимо законов распределения могут описываться также числовыми характеристиками, одной из которых является математическое ожидание, определить которое не всегда просто. Для этого используют дисперсию (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания). Но для начала нужно себе точно представлять, что означает математическое ожидание: по определению это среднее значение случайной величины, которое можно посчитать как сумму значений этих величин, умноженных на их вероятность.
2
Вам необходимо в условии задачи найти, какое именно числовое значение дисперсии дано по условию, а затем извлечь из него корень. Полученный результат и будет математическим ожиданием. Но так как данная величина является средним значением, то вы получите приближенное значение. Поэтому данный итог не совсем верен.
3
Если по условию задачи дано среднеквадратическое отклонение (сигма), то целесообразнее найти дисперсию (извлечь корень из числового значения). А затем по классическому определению теории вероятности найти, чему равно математическое ожидание.
Обратите внимание
Запомните некоторые свойства, которые облегчат поиск математического ожидания:

Математическое ожидание константы равно самой константе.
Если случайную величину умножить на некоторое число k, то и математическое ожидание умножится на это же число.
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Совет полезен?
На самом деле гораздо проще вначале определить математическое ожидание, а затем считать дисперсию. Таким образом расчеты сократятся в несколько раз.
Источники:
  • Теория вероятности
  • найти математическое ожидание и дисперсию
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500