Совет 1: Как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

На любых двух неколлинеарных и ненулевых векторах можно построить параллелограмм. Эти два вектора будут стягивать параллелограмм, если совместить их начала в одной точке. Достройте стороны фигуры.
Инструкция
1
Найдите длины векторов, если заданы их координаты. Пусть, например, вектор A имеет координаты (a1,a2) на плоскости. Тогда длина вектора A равна |A|=√(a1²+a2²). Аналогично находится модуль вектора B: |B|=√(b1²+b2²), где b1 и b2 – координаты вектора B на плоскости.
2
Площадь параллелограмма находится по формуле S=|A|•|B|•sin(A^B), где A^B – угол между заданными векторами A и B. Синус можно найти через косинус, используя основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1. Косинус же можно выразить через скалярное произведение векторов, записанное в координатах.
3
Скалярное произведение вектора A на вектор B обозначается как (A,B). По определению, оно равно (A,B)=|A|•|B|•cos(A^B). А в координатах скалярное произведение записывается так: (A,B)=a1•b1+a2•b2. Отсюда можно выразить косинус угла между векторами: cos(A^B)=(A,B)/|A|•|B|=(a1•b1+a2•b2)/√(a1²+a2²)•√(a2²+b2²). В числителе – скалярное произведение, в знаменателе – длины векторов.
4
Теперь можно выразить синус из основного тригонометрического тождества: sin²α=1-cos²α, sinα=±√(1-cos²α). Если предположить, что угол α между векторами – острый, «минус» при синусе можно отбросить, оставив только знак «плюс», поскольку синус острого угла может быть только положительным (или нулевым при нулевом угле, но здесь угол ненулевой, это отображается в условии неколлинеарности векторов).
5
Теперь надо подставить координатное выражение для косинуса в формулу синуса. После этого останется лишь записать результат в формулу площади параллелограмма. Если всё это проделать и упростить числовое выражение, то получится, что S=a1•b2-a2•b1. Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах A(a1,a2) и B(b1,b2), находится по формуле S=a1•b2-a2•b1.
6
Полученное выражение является детерминантом матрицы, составленной из координат векторов A и B:a1 a2b1 b2.
7
Действительно, чтобы получить определитель матрицы размерности два, нужно перемножить элементы главной диагонали (a1,b2) и вычесть из этого произведение элементов побочной диагонали (a2,b1).

Совет 2: Как вычислить векторное произведение

Векторное произведение – одна из наиболее распространенных действий, используемых в векторной алгебре. Эта операция нашла широкое распространение в науке и технике. Наиболее наглядно и удачно это понятие используется в теоретической механике.
Инструкция
1
Рассмотрите механическую задачу, для решения которой требуется векторное произведение. Как известно, момент силы относительно центра равен произведению этой силы на ее плечо (см. рис. 1а). Плечо h в ситуации, представленной на рисунке определяется по формуле h=|OP|sin(π-φ)=|OP|sinφ. Здесь F приложена к точке Р. С другой стороны Fh равно площади параллелограмма построенного на векторах ОР и F.
2
Сила F вызывает вращение Р относительно 0. В результате получается вектор, направленный по известному правилу «буравчика». Поэтому произведение Fh является модулем вектора момента силы OMo, который перпендикулярен плоскости, содержащей векторы F и OMo.
3
По определению векторное произведение a и b – это вектор с, обозначаемый с=[а,b] (имеются и другие обозначения, чаще всего через перемножение «крестиком»).с должен удовлетворять следующим свойствам:1) с ортогонален (перпендикулярен) а и b;2) |c|=|a||b|sinф, где ф угол между а и b;3) тройка веторов а, b и с правая, то есть кратчайший поворот от a к b производится против часовой стрелки.
4
Не вдаваясь в подробности, следует отметить, что для векторного произведения справедливы все арифметические действия кроме свойства коммутативности (перестановки), то есть [а,b] не равно [b,а].Геометрический смысл векторного произведения: его модуль равен площади параллелограмма (см. рис. 1b).
5
Нахождение векторного произведения согласнопо определения порой весьма затруднительно. Чтобы решить поставленную задачу, удобно использовать данные в координатной форме. Пусть в декартовых координатах:a(ax, ay, az)=ax*i+ay*j+az*k, a b(bx, by, bz)=bx*i+by*j+bz*k , где i, j, k - векторы-орты координатных осей.
6
В данном случае перемножение по правилам раскрытия скобок алгебраического выражения. При этом учтите, что sin(0)=0, sin(π/2)=1, sin(3π/2)=-1, модуль каждого орта равен 1 и тройка i, j, k правая, а сами векторы взаимно ортогональны. Тогда получите:с=[а,b]= (ay*bz- az*by)i- (ax*bz- az*bx)j+ (ax*by- ay*bx)k=с((ay*bz- az*by), (az*bx- ax*bz), (ax*by- *bx)). (1)Эта формула и является правилом вычисления векторного произведения в координатной форме. Ее недостаток – громоздкость и, как следствие, трудная запоминаемость.
7
Для упрощения методики вычисления векторного произведения используйте вектор- определитель, представленный на рисунке 2.Из данных, приведенных на рисунке, следует, что на следующем шаге раскрытия этого определителя, которое велось по его первой строке, как раз и возникает алгоритм (1). Как видите, здесь нет особых проблем с запоминанием.
Видео по теме
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500