Инструкция
1
Числовую последовательность можно понимать как функцию xn=f(n), где n - натуральное число (обозначается {xn}). Сами числа xn называются элементами или членами последовательности, n – номер члена последовательности. Если функция f(n) задана аналитически, то есть формулой, то xn=f(n) называют формулой общего члена последовательности.
2
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер n=n(ε), начиная с которого выполняется неравенство |xn-a |< ε. Аналитическое выражение предела проиллюстрировано на рисунке 1а.Особый интерес представляет предел последовательности (см. рис. 1b). Здесь е=2,718281828459045… – трансцендентное число, называемое числом Эйлера, которое в математике является основанием натурального логарифма.
3
Первый способ вычисления предела последовательности основан на ее определении. Правда следует запомнить, что путей непосредственного поиска предела он не дает, а позволяет лишь доказать, что какое-либо число а является (или не является) пределом.Пример 1. Доказать, что последовательность {xn}={(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} имеет предел а=3.Решение. Проводите доказательство путем применения определения в обратном порядке. То есть справа налево. Предварительно проверьте – нет ли возможности упростить формулу для xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))= )=(3n+1)/(n+2).Рассмотрите неравенство |(3n+1)/(n+2)-3|0 можно найти любое натуральное число nε, большее -2+5/ε.
4
Пример 2. Доказать, что в условиях примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >0).Запишите заключающее неравенство общего определения |(3n+1)/(n+2)-1|
5
Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или иррациональных выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей степени. Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>k (n стремится к бесконечности). После этого запишите ответ: 0, если pq.
6
Укажем не традиционный способ нахождения предела последовательности и бесконечных сумм. Будем использовать функциональные последовательности (их члены функции, определенные на некотором промежутке (a,b)).Пример 3. Найти сумму вида 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Решение. Любое число а^0=1. Положите 1=exp(0) и рассмотрите функциональную последовательность {1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n!}, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.