Совет 1: Как найти производную вектора

При описании векторов в координатной форме используется понятие радиус-вектора. Где бы исходно ни лежал вектор, все равно его начало будет совпадать с началом координат, а конец будет обозначен его координатами.
Инструкция
1
Радиус-вектор принято записывать следующим образом: r=r(М)=x∙i+y∙j+z∙k. Здесь (x, y, z) – декартовы координаты вектора. Не трудно представить ситуацию, когда вектор может изменяться в зависимости от какого-либо скалярного параметра, например, времени t. В этом случае вектор можно описывать как функцию трех аргументов, заданную параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), что соответствует r=r(t)=x(t)∙i+y(t)∙j+z(t)∙k. При этом линия, которую по мере изменения параметра t описывает в пространстве конец радиус-вектора называется годографом вектора, а само соотношение r=r(t) называют вектор-функцией (векторной функцией скалярного аргумента).
2
Итак, вектор-функция – это вектор, зависящий от параметра. Производную вектор-функции (как и любой функции, представляемой в виде суммы) можно записать в следующей форме: r’=dr/dt=r’(t)= x’(t)∙i+y’(t)∙j+z’(t)∙k. (1)Производная каждой из входящих в (1) функций определяется традиционно. Аналогичным образом обстоит дело и с r=r(t), где приращение ∆r также вектор (см. рис. 1).
3
В силу (1) можно прийти к выводу, что правила дифференцирования вектор-функции повторяют правила дифференцирования обычных функций. Так производная суммы (разности) – есть сумма (разность) производных. При вычислении производной вектора на число, это число можно выносить за знак производной. Для скалярного и векторного произведения сохраняется правило вычисления производной произведения функций. Для векторного произведения [r(t),g(t)]’= [r’(t),g(t)]+[r(t)g’(t)]. Остается еще одно понятие – произведения скалярной функции на векторную (здесь правило дифференцирования произведения функций сохраняется).
4
Особый интерес представляет собой вектор-функция длины дуги s, по которой перемещается конец вектора, отсчитываемой от некоторой начальной точки Мо. Это r=r(s)=u(s)∙i+v(s)∙j+w(s)∙k (см. рис. 2).С помощью рис. 2 постарайтесь выяснить геометрический смысл производной dr/ds.
5
Отрезок АВ, на котором лежит ∆r, является хордой дуги. При этом ее длина равна ∆s. Очевидно, что отношение длины дуги к длине хорды стремится к единице при ∆r, стремящимся к нулю. ∆r=r∙(s + ∆s)-r(s), |∆r |=|AB|. Поэтому |∆r/∆s| и в пределе (при ∆s стремящимся к нулю) равно единице. Получаемая при этом производная направлена по касательной к кривой dr/ds=&sigma – единичный вектор. Следовательно, можно записать и вторую производную (d^2)r/(ds)^2=(d/ds)[dr/ds]=d&sigma/ds.

Совет 2: Как найти производную

Нахождение производной (дифференцирование) - одна из главных задач математического анализа. Нахождение производной функции имеет множество применений в физике и математике. Рассмотри алгоритм.
Инструкция
1
Упростите функцию. Представьте её в том виде, в котором удобно брать производную.
2
Возьмите производную, используя правила дифференцирования и таблицу производных. В ней находятся производные основных элементарных функций: линейных, степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических, обратных тригонометрических. Производные элементарных функций желательно знать наизусть.
3
Производная постоянной (неизменяемой) функции равна нулю. Пример неизменяемой функции: y=5.
4
Правила дифференцирования.
Пусть с - постоянное число, u(x) и v(x) - некоторые дифференцируемые функции.
1) (cu)'=cu';

2) (u+v)'=u'+v';

3) (u-v)'=u'-v';

4) (uv)'=u'v+v'u;

5) (u/v)'=(u'v-v'u)/v^2
В случае сложной функции необходимо последовательно брать производные элементарных функций, входящих в состав сложной функции, и перемножать их. Учитывайте, что в сложной функции одна функция является аргументом другой функции.
Рассмотрим пример.
(cos(5x-2))'=cos'(5x-2)*(5x-2)'=-sin(5x-2)*5=-5sin(5x-2).
В данном примере мы последовательно берем производную функции косинуса с аргументом (5x-2) и производную линейной функции (5x-2) с аргументом x. Перемножаем производные.
5
Упростите полученное выражение.
6
Если необходимо найти производную функции в заданной точке, подставьте значение этой точки в полученное выражение для производной.
Видео по теме

Совет 3: Как найти градиент

При рассмотрении вопросов, включающих понятие градиента, чаще всего функции воспринимают как скалярные поля. Поэтому необходимо ввести соответствующие обозначения.
Вам понадобится
  • - буман;
  • - ручка.
Инструкция
1
Пусть функция задается тремя аргументами u=f(x, y, z). Частную производную функции, на пример по х, определяют как производную по этому аргументу, полученную при фиксировании остальных аргументов. Для остальных аргументов аналогично. Обозначения частной производной записывается в виде: дf/дх = u’x …
2
Полный дифференциал будет равен du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz.

Частные производные можно понимать, как производные по направлениям координатных осей. Поэтому возникает вопрос о нахождении производной по направлению заданного вектора s в точке M(x, y, z) (не забывайте, что направление s задает единичный вектор-орт s^o). При этом вектор-дифференциал аргументов {dx, dy, dz}={дscos(альфа), дsсоs(бета), дsсоs(гамма)}.
3
Учитывая вид полного дифференциала du, можно сделать вывод, что производная по направле-нию s в точке М равна:

(дu/дs)|M=((дf/дх)|M)соs(альфа)+ ((дf/дy)|M) соs(бета) +((дf/дz)|M) соs(гамма).
Если s= s(sx,sy,sz), то направляющие косинусы {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)} вычисляются (см. рис.1а).
Как найти градиент
4
Определение производной по направлению, считая точку М переменной, можно переписать в виде скалярного произведения:
(дu/дs)=({дf/дх, дf/дy,дf/дz}, {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)})=(grad u, s^o).

Данное выражение будет справедливо для скалярного поля. Если рассматривается просто функ-ция, то gradf – это вектор, имеющий координаты, совпадающие с частными производными f(x, y, z).

gradf(x,y,z)={{дf/дх, дf/дy, дf/дz}=)=(дf/дх)i+(дf/дy)j +(дf/дz)k.

Здесь (i, j, k) – орты координатных осей в прямоугольной декартовой системе координат.
5
Если использовать дифференциальный вектор-оператор Гамильтона набла, то gradf можно записать, как умножение этого вектора-оператора на скаляр f (см. рис. 1б).

С точки зрения связи gradf c производной по направлению, равенство (gradf, s^o)=0 возможно, если эти векторы ортогональны. Поэтому gradf часто определяют, как направление быстрейшего изменения скалярного поля. А с точки зрения дифференциальных операций (gradf - одна из них), свойства gradf в точности повторяют свойства дифференцирования функций. В частности, если f=uv, то gradf=(vgradu+u gradv).
Видео по теме

Совет 4: Как найти производную в точке

В физическом смысле производная - это скорость изменения функции. Производная функции изменения координаты - это скорость движения, производная функции скорости является ускорением. Таким образом, зная формулу изменения координат тела в пространстве, можно найти его скорость и ускорение в каждой координате пространства.
Инструкция
1
Найдите приращение функции: Δf = f(x0+Δx) - f(x0). Найдите отношение приращения функции к приращению аргумента: Δf/Δx = (f(x0+Δx) - f(x0))/Δx. При этом считайте, что Δx стремится к нулю. Это и будет производная функции в точке х0. На практике сначала находят общую формулу производной функции, а затем подставляют конкретное значение аргумента.
2
Для примера f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1, надо найти производную в точке x = 4.
Найдите производную f(x) = 3x^2 - 2*2x + 1. Найдите производную f'(4) = 3*4^2 - 4*4 + 1 = 48 - 16 + 1 = 33.
Обратите внимание
Производная постоянной равна нулю. Для основных функций существуют формулы вычисления производной.
Источники:
  • как вычислить скорость изменения функции в точке

Совет 5: Как найти производную е

Число е является постоянной величиной и приблизительно равно 2,7. Существуют различные случаи для нахождения производной степенной функцией, основанием которой является число е.
Вам понадобится
  • - доступ в интернет
Инструкция
1
Чтобы найти производную функции, имеющей вид у = еª, воспользуйтесь основной формулой нахождения производной в данном случае. Ее производная будет также равняться у΄ = еª.
2
Для нахождения производной функции вида у = keª, необходимо еª умножить на коэффициент, т.е. у΄= k × eª
3
Если вам нужно найти производную сложной функции, например: у = е в степени ( х² - 2х + 1), вычислите произведение данной функции на производную показателя степени. Это будет выглядеть таким образом: у΄= е в степени (х² - 2х + 1) × степень (х² - 2х + 1)
4
Чтобы найти производную функции, имеющую вид у = еª, воспользуйтесь основной формулой нахождения производной в данном случае. Ее производная будет также равняться у΄ = еª.
5
Чтобы найти производную такого вида: у = е³ª + 2еª, найдите производную каждого из слагаемых, затем сложите полученные результаты: у΄ = (е³ª)΄ + (2еª)΄; у΄ = 3е³ª + 2еª.
6
Для нахождения производной любой функции, в том числе и степенной с основанием е, воспользуйтесь сервисом http://www.matcabi.net/differentiate.php. Здесь помимо вычисления производных, вы сможете ознакомиться с теорией по различным темам, таким, как: «Производная», «Пределы», «Интеграл».
7
Посетите сайт http://mathserfer.com/math/task.php?tname=diff. На главной странице вы сможете вычислять производные функций on-line, с получением подробного решения задач. Решение производных функции основано на использовании правил дифференцирования, изучаемых в курсе математического анализа.
8
Чтобы найти производную функции введите ее в поле «Функция» для дифференцирования согласно правилам ввода данных.
9
Затем укажите переменную дифференцирования. Обычно это «x».
10
Если требуется найти производную высших порядков, изберите соответствующий порядок дифференцирования.
11
Чтобы найти производную вашей функции нажмите «Проверить введенные данные» и, кнопку «Решить».
Источники:
  • производные с е

Совет 6: Как найти производную от заданной функции

Задача взятия производной от заданной функции является базовой как для учащихся средних школ, так и для студентов высших учебных заведений. Невозможно в полной мере освоить курс математики без усвоения понятия производной. Но не стоит пугаться раньше времени - любую производную можно вычислить используя простейшие алгоритмы дифференцирования и зная производные элементарных функций.
Вам понадобится
  • Таблица производных элементарных функций, правила дифференцирования
Инструкция
1
По определению производной функции является отношение приращения функции к приращению аргумента за бесконечно малый промежуток времени. Таким образом, производная показывает зависимость роста функции от изменения аргумента.
2
Для того чтобы найти производную элементарной функции достаточно воспользоваться таблицей производных. Полная таблица производных элементарных функций приведена на рисунке.
Таблица производных элементарных функций
3
Для того, чтобы найти производную сумму (разности) двух элементарных функций мы используем правило дифференцирования суммы: производная суммы функций равна сумме их производных. Это записывается как:

(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x). Здесь символом (') показывается взятие производной от функции. А далее задача сводится к взятию производных двух элементарных функций, описанная на предыдущем шаге.
4
Для того чтобы найти производную произведения двух функций, необходимо воспользоваться еще одним правилом дифференцирования:

(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x), то есть производная произведения равна сумме произведения производной первого множителя на второй и первого множителя на производную второго. Найти производную частного можно по формуле, представленной на картинке. Она очень похожа на правило взятия производной произведения, только вместо суммы в числителе стоит разность, и добавляется знаменатель, в котором находится квадрат знаменателя заданной функции.
Производная частного
5
Взятие производной сложной функции - наиболее трудная задача при дифференцировании (сложной функцией называется функция, аргументом которой является какая-либо зависимость). Но и она решается по довольно простому алгоритму. Сначала мы берем производную по сложному аргументу, считая его простым. Затем мы умножаем полученное выражение на производную сложного аргумента. Так мы можем найти производную функции с любой степенью вложенности.
Источники:
  • Главный математический портал России
  • найти производные заданных функций

Совет 7: Как находить производную от числа

Задача нахождения производной стоит как перед учениками старших классов школ, так и перед студентами. Для успешного дифференцирования требуется внимательно и аккуратно следовать определенным правилам и алгоритмам.
Вам понадобится
  • - таблица производных;
  • - правила дифференцирования.
Инструкция
1
Проанализируйте производную. Если она представляет собой произведение или сумму, разложите по известным правилам. В случае, если одно из слагаемых — число, воспользуйтесь формулами из пунктов 2-5 и 7.
2
Помните, что производная числа (константы) равна нулю. Производная по определению есть скорость изменения функции, а скорость изменения постоянной величины — нуль. При необходимости это доказывается с помощью определения производной, через пределы — приращение функции равно нулю, а нуль делить на приращение аргумента есть нуль. Следовательно, предел нуля тоже есть нуль.
3
Не забывайте, что, имея произведение постоянного множителя и переменной, можно вынести константу за знак производной и дифференцировать только оставшуюся функцию: (cU)'=cU', где «c» – константа; «U» — любая функция.
4
Имея один из частных случаев производной дроби, когда в числителе вместо функции стоит число, воспользуйтесь формулой: производная равна минус произведению константы на производную знаменателя, деленное на стоящую в знаменателе функцию в квадрате: (c/U)'=(-c·U')/U2.
5
Возьмите производную по второму следствию производной дроби: если константа стоит в знаменателе, а в числителе функция, то единица, деленная на константу, всё равно число, потому следует выносить число из-под знака производной и изменять только функцию: (U/c)'=(1/c)·U'.
6
Отличайте коэффициент перед аргументом («х») и перед функцией (f(x)). Если число стоит перед аргументом, то функция — сложная, и ее необходимо дифференцировать по правилам сложных функций.
7
Если имеете показательную функцию ах, в этом случае число возводится в степень переменной, и значит, нужно брать производную по формуле: (ах)'=lna·ах. Будьте осторожны и помните, что основанием показательной функции может быть любое положительное число отличное от единицы. Если основание показательной функции — число е, то формула примет вид: (ех)'=ех.
Видео по теме
Источники:
  • Таблица производных
  • производная числа
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500