Совет 1: Как решать многочлены

Многочлен представляет собой алгебраическую сумму произведений чисел, переменных и их степеней. Преобразование многочленов обычно включает два вида задач. Выражение требуется либо упростить, либо разложить на множители, т.е. представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночлена и многочлена.
Инструкция
1
Чтобы упростить многочлен, приведите подобные слагаемые. Пример. Упростите выражение 12ax²–y³–6ax²+3a²x–5ax²+2y³. Найдите одночлены с одинаковой буквенной частью. Сложите их. Запишите полученное выражение: ax²+3a²x+y³. Вы упростили многочлен.
2
В задачах, которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в состав всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.
3
Пример. Разложите на множители многочлен 5m³–10m²n²+5m². Вынесите за скобки m², т.к. переменная m входит в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен 5m². Отсюда: 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1).
4
Если выражение не имеет общего множителя, попробуйте разложить его способом группировки. Для этого объедините в группы те члены, у которых имеются общие множители. Вынесите общий множитель каждой группы за скобки. Вынесите за скобки общий множитель у всех образовавшихся групп.
5
Пример. Разложите на множители многочлен a³–3a²+4a–12. Произведите группировку следующим образом: (a³–3a²)+(4a–12). Вынесите за скобку общий множитель a² в первой группе и общий множитель 4 во второй группе. Отсюда: a²(a–3)+4(a–3). Вынесите за скобки многочлен a–3, получите: (a–3)(a²+4). Следовательно, a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4).
6
Некоторые многочлены раскладываются на множители при помощи формул сокращенного умножения. Для этого приведите многочлен к нужному виду способом группировки или при помощи вынесения за скобки общего множителя. Далее примените соответствующую формулу сокращенного умножения.
7
Пример. Разложите на множители многочлен 4x²–m²+2mn–n². Объедините в скобки последние три члена, при этом вынесите за скобки –1. Получите: 4x²–(m²–2mn+n²). Выражение в скобках можно представить в виде квадрата разности. Отсюда: (2x)²–(m–n)². Это есть разность квадратов, значит, можно записать: (2x–m+n)(2x+m+n). Таким образом, 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n).
8
Некоторые многочлены можно разложить на множители методом неопределенных коэффициентов. Так, каждый многочлен третьей степени можно представить в виде (y–t)(my²+ny+k), где t, m, n, k – числовые коэффициенты. Следовательно, задача сводится к определению значений этих коэффициентов. Это делается, исходя из данного равенства: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.
9
Пример. Разложите на множители многочлен 2a³–a²–7a+2. Из второй части формулы для многочлена третьей степени составьте равенства: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Запишите их в виде системы уравнений. Решите ее. Вы найдете значения t=2; n=3; k=–1. Подставьте вычисленные коэффициенты в первую часть формулы, получите: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).

Совет 2: Что такое многочлен

Математическая наука изучает различные структуры, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым можно четко описать приближенные к идеальным свойства реальных объектов, изучаемых в других областях науки. Одной из таких структур является многочлен.
Инструкция
1
Многочлен или полином (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – класс элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.
2
Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.
3
Основные определения многочлена:
• Каждое слагаемое полинома называется одночленом или мономом.
• Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом.
• Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа.
• Если старший коэффициент равен 1, то многочлен называют унитарным (приведенным).
• Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней.
• Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом.
• Многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.
4
Некоторые часто используемые многочлены названы по фамилии ученого, который их определил, а также описал функции, которые они задают. Например, Бином Ньютона – это формула для разложения полинома двух переменных на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это известные из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).
5
Если допустить в записи многочлена отрицательные степени, то получится многочлен или ряд Лорана; многочлен Чебышева используется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.
Обратите внимание
Бином Ньютона часто упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Этот термин на слуху, поэтому считается самым известным многочленом.
Источники:
  • Разложение многочленов на множители
  • как разложить на множители на многочлен
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500