Инструкция
1
Пусть задано уравнение функции y = f(x). Функция непрерывна и определена на отрезке [a; b]. Надо найти наименьшее значение функции на этом отрезке. Рассмотрим, например, функцию f(x) = 3x² + 4x³ + 1 на отрезке [-2; 1]. Наша f(x) непрерывна и определена на всей числовой прямой, а значит и на заданном отрезке.
2
Найдите первую производную функции по переменной х: f'(x). В нашем случае получим: f'(x) = 3*2x + 4*3x² = 6x + 12x².
3
Определите точки, в которых f'(x) равна нулю или не может быть определена. В нашем примере f'(x) существует для всех x, приравняем ее нулю: 6x + 12x² = 0 или 6x(1 + 2x) = 0. Очевидно, что произведение обращается в нуль, если x = 0 или 1 + 2х = 0. Следовательно, f'(x) = 0 при x = 0, х = -0,5.
4
Определите среди найденных точек те, которые принадлежат заданному отрезку [a; b]. В нашем примере обе точки принадлежат отрезку [-2; 1].
5
Осталось вычислить значения функции в точках обнуления производной, а также на концах отрезка. Наименьшее из них будет наименьшим значением функции на отрезке.

Вычислим значения функции при x = -2, -0,5, 0 и 1.

f(-2) = 3*(-2)² + 4*(-2)³ + 1 = 12 - 32 + 1 = -19

f(-0,5) = 3*(-0,5)² + 4*(-0,5)³ + 1 = 3/4 - 1/2 + 1 = 1,25

f(0) = 3*0² + 4*0³ + 1 = 1

f(1) = 3*1² + 4*1³ + 1 = 3 + 4 + 1 = 8

Таким образом, наименьшим значением функции f(x) = 3x² + 4x³ + 1 на отрезке [– 2; 1] является f(x) = -19, оно достигается на левом конце отрезка.