Совет 1: Как найти общий множитель

Для решения уравнений высших порядков существует множество способов. Иногда целесообразно совмещать их, чтобы добиться результата. Например, при разложении на множители и группировке часто используют метод нахождения общего множителя группы двучленов и вынесения его за скобки.
Инструкция
1
Определение общего множителя многочлена требуется при упрощении громоздких выражений, а также при решении уравнений высших степеней. Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.
2
Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – корень многочлена, равный 0.
3
Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.
4
Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y - 2) и (y + 3).
5
Очевидно, что степень оставшегося многочлена при этом понизится с четвертой до второй. Чтобы получить его, проведите деление исходного многочлена последовательно на (y - 2) и (y + 3). Выполняется это подобно делению чисел, в столбик.
6
Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.
7
Выполните замену вида t = 2³·y³. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. После замены: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.
8
Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является группировка элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не работает, т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако реализация группировки не всегда бывает очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 нет целых корней.
9
Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + (4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4·y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y² - 2).

Совет 2: Как найти неизвестный множитель

Умножение и деление, точно так же, как сложение и вычитание, являются основными арифметическими действиями. Не научившись решать примеры на умножение и деление, человек столкнется со множеством трудностей не только при изучении более сложных разделов математики, но даже и в самых обычных житейских делах. Умножение и деление тесно связаны между собой, и неизвестные компоненты примеров и задач на одно из этих действий вычисляются с помощью другого действия. При этом необходимо четко понимать, что при решении примеров абсолютно все равно, какие именно предметы вы делите или умножаете.
Вам понадобится
  • - таблица умножения;
  • - калькулятор или лист бумаги и карандаш.
Инструкция
1
Запишите нужный вам пример. Обозначьте неизвестный множитель как х. Пример может выглядеть, например, так: a*x=b. Вместо множителя а и произведения b в примере могут стоять любые буквы или цифры. Вспомните основное свойства умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется. Так что неизвестный множитель х может стоять абсолютно в любом месте.
2
Для того чтобы найти неизвестный множитель в примере, где сомножителей всего два, необходимо просто разделить произведение на известный множитель. То есть делается это следующим образом: х=b/a. Если вам сложно оперировать абстрактными величинами, попробуйте представить эту задачу в виде конкретных предметов. Вы знаете, сколько у вас всего яблок и сколько человек их будет есть, но не знаете, по сколько яблок достанется каждому. Например, у вас 5 членов семьи, а яблок получилось 15. Количество яблок, предназначенное каждому, обозначьте как x. Тогда уравнение будет выглядеть так: 5(яблок)*х=15(яблок). Неизвестный множитель находится тем же самым способом, что и в уравнении с буквами, то есть 15 яблок разделите на пятерых членов семьи, в итоге получится, что каждый из них съел по 3 яблока.
3
Тем же самым способом находится неизвестный множитель при большем количестве сомножителей. Например, пример выглядит как a*b*c*x*=d. По идее, найти сомножитель можно и так же, как в более постом примере: x=d/a*b*c. Но можно привести уравнение и к более простому виду, обозначив произведение известных сомножителей какой-нибудь другой буквой — например, m. Найдите, чему равняется m, перемножив числа a,b и с: m=a*b*c. Тогда весь пример можно представить как m*x=d, а неизвестная величина будет равна x=d/m.
4
Если известный множитель и произведение представляют собой дроби, пример решается точно так же, как и с целыми числами. Но в этом случае необходимо помнить правила действий с дробями. При умножении дробей числители и знаменатели их перемножаются. При делении дробей числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого — на числитель делителя. То есть в этом случае пример будет выглядеть так: a/b*x=c/d. Для того чтобы найти неизвестную величину, нужно произведение разделить на известный множитель. То есть x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Видео по теме
Обратите внимание
При решении примеров с дробями дробь известного сомножителя можно просто перевернуть и выполнять действие как умножение дробей.

Совет 3: Как найти степень многочлена

Многочлен - это сумма одночленов. Одночлен же - это произведение нескольких сомножителей, которые являются числом или буквой. Степень неизвестной - это количество ее перемножений на саму себя.
Инструкция
1
Приведите подобные одночлены, если этого еще не сделано. Подобные одночлены - это одночлены одинакового вида, то есть одночлены с одинаковыми неизвестными одинаковой степени.
2
Примите одну из неизвестных букв за главную. Если она не указана в условии задачи, за главную можно принять любую неизвестную букву.
3
Найдите наивысшую степень для главной буквы. Это максимальная имеющаяся в многочлене степень для этой неизвестной. Именно она и называется степенью многочлена по этой букве.
4
Укажите, если это необходимо, степень многочлена по другим буквам. Таким образом, для многочлена с неизвестными x и y существует степень многочлена по x и степень многочлена по y.
5
Возьмите, например, многочлен 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². В этом многочлене две неизвестных - x и y.
6
Найдите подобные одночлены. Здесь есть подобные одночлены члены с y во второй степени и x в третьей. Это 2*y²*x³ и -y²*x³. Еще в данном многочлене есть подобные одночлены с y в четвертой степени. Это 6*y²*y² и -6*y²*y².
7
Соедините подобные одночлены. Одночлены со второй степенью y и третьей степенью x придут к виду y²*x³, а одночлены с четвертой степенью y сократятся. Получится y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
8
Примите за главную неизвестную букву x. Найдите максимальную степень при неизвестной x. Это одночлен y²*x³ и, соответственно, степень 3.
9
Примите за главную неизвестную букву y. Найдите максимальную степень при неизвестной y. Это одночлен y²*x³ и, соответственно, степень 2.
10
Сделайте вывод. Степень многочлена 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² по x равна трем, а по y равна двум.
11
Учтите, что степень не обязательно является целым числом. Возьмите многочлен √x+5*y. Подобных одночленов у него нет.
12
Найдите степень многочлена √x+5*y по y. Она равна максимальной степени y, то есть единице.
13
Найдите степень многочлена √x+5*y по x. Неизвестная x находится под корнем, значит ее степень будет дробью. Так как корень квадратный, то степень x равна 1/2.
14
Сделайте вывод. Для многочлена √x+5*y степень по x равна 1/2, а степень по y равна 1.
Видео по теме

Совет 4: Как вынести общий множитель за скобки

Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки.
Инструкция
1
Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения на множители. Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим множителем может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.
2
Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом элементе многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12•z³ + 16•z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4•(3•z³ + 4•z² - 1). Иными словами, это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.
3
Одночлен.Определите, входит ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. Пример: 9•z^4 – 6•z³ + 15•z² – 3•z.
4
Каждый элемент этого многочлена содержит переменную z. Кроме того, все коэффициенты – числа, кратные 3. Следовательно, общим множителем будет одночлен 3•z:3•z•(3•z³ – 2•z² + 5•z - 1).
5
Двучлен.За скобки выносится общий множитель из двух элементов, переменной и числа, которое является решением общего многочлена. Поэтому, если множитель-двучлен неочевиден, то нужно найти хотя бы один корень. Выделите свободный член многочлена, это коэффициент без переменной. Теперь примените метод подстановки в общее выражение всех целочисленных делителей свободного члена.
6
Рассмотрите пример: z^4 – 2•z³ + z² - 4•z + 4. Проверьте, не является ли какой-либо из целых делителей числа 4 корнем уравнения z^4 – 2•z³ + z² - 4•z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z - 1) и (z - 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.
Как вынести общий <strong>множитель</strong> за <b>скобки</b>
7
Запишите результат (z - 1)•(z - 2)•(z² + z + 2).
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500