Инструкция
1
Для решения задачи на градиент функции используются методы дифференциального исчисления, а именно нахождение частных производных первого порядка по трем переменным. При этом предполагается, что сама функция и все ее частные производные обладают свойством непрерывности в области определения функции.
2
Градиент – это вектор, направление которого указывает направление максимально быстрого возрастания функции F. Для этого на графике выбираются две точки M0 и M1, которые являются концами вектора. Величина градиента равна скорости возрастания функции от точки M0 к точке M1.
3
Функция дифференцируема во всех точках этого вектора, следовательно, проекциями вектора на координатных осях являются все ее частные производные. Тогда формула градиента выглядит следующим образом:grad = (∂F/∂х)•i + (∂F/∂y)•j + (∂F/∂z)•k, где i, j, k – координаты единичного вектора. Иными словами, градиент функции – это вектор, координатами которого являются ее частные производные grad F = (∂F/∂х, ∂F/∂y, ∂F/∂z).
4
Пример1.Пусть задана функция F = sin(х•z²)/y. Требуется найти ее грaдиент в точке (π/6, 1/4, 1).
5
Решение.Определите частные производные по каждой переменной: F’_х = 1/y•соs(х•z²)•z²;F’_y = sin(х•z²)•(-1)•1/(y²);F’_z = 1/y•соs(х•z²)•2•х•z.
6
Подставьте известные значения координат точки:F’_x = 4•соs(π/6) = 2•√3; F’_y = sin(π/6)•(-1)•16 = -8; F’_z = 4•соs(π/6)•2•π/6 = 2•π/√3.
7
Примените формулу градиента функции:grаd F = 2•√3•i – 8•j + 2•π/√3•k.
8
Пример2.Найдите координаты градиента функции F = y•arсtg (z/x) в точке (1, 2, 1).
9
Решение.F’_х = 0•аrсtg (z/х) + y•(аrсtg(z/х))’_х = y•1/(1 + (z/х)²)•(-z/х²) = -y•z/(х²•(1 + (z/х)²)) = -1;F’_y = 1•аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = π/4;F’_z = 0•аrсtg(z/х) + y•(аrсtg(z/х))’_z = y•1/(1 + (z/х)²)•1/х = y/(х•(1 + (z/х)²)) = 1.grаd = (-1, π/4, 1).