Совет 1: Как определить тип дифференциального уравнения

В математике существует множество различных типов уравнений. Среди дифференциальных также различают несколько подвидов. Отличить их можно по ряду существенных признаков, характерных для той или иной группы.
Вам понадобится
  • - тетрадь;
  • - ручка
Инструкция
1
Если уравнение представлено в виде: dy/dx = q(x)/n(y), относите их к категории дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Их можно решить, записав условие в дифференциалах по следующей схеме: n(y)dy = q(x)dx. Затем проинтегрируйте обе части. В некоторых случаях решение записывается в виде интегралов, взятых от известных функций. К примеру, в случае dy/dx = x/y, получится q(x) = x, n(y) = y. Запишите его в виде ydy = xdx и проинтегрируйте. Должно получиться y^2 = x^2 + c.
2
К линейным уравнениям относите уравнения «первой степени». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.
3
Учтите, что многие дифференциальные уравнения - это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей формулы: md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в основном, частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного класса: линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.
4
Рассмотрите более общий пример (второго порядка): уравнение, где у и z – являются заданными постоянными, f(x) – заданная функция. Подобные уравнения можно решить разными способами, к примеру, при помощи интегрального преобразования. Это же самое можно сказать и про линейные уравнения более высоких порядков, имеющих постоянные коэффициенты.
5
Примите к сведению, что уравнения, которые содержат неизвестные функции, а также их производные, стоящие в степени выше первой, называются нелинейными. Решения нелинейных уравнений достаточно сложны и поэтому, для каждого из них используется свой частный случай.

Совет 2: Как определить вид дифференциального уравнения

Определить вид дифференциального уравнения необходимо для того, чтобы подобрать соответствующий каждому случаю способ решения. Классификация видов довольно большая, а решение основывается на методах интегрирования.
Инструкция
1
Необходимость в дифференциальных уравнениях возникает тогда, когда известны свойства функции, а сама она остается неизвестной величиной. Часто такая ситуация возникает при исследовании физических процессов. Свойства функции описываются ее производными или дифференциалом, поэтому единственным способом ее нахождения является интегрирование. Прежде чем приступать к решению, нужно определить вид дифференциального уравнения.
2
Существует несколько видов дифференциальных уравнений, простейшим из них является выражение у’ = f(х), где у’ = dу/dх. Кроме того, к этому виду может быть приведено равенство f(х)•у’ = g(х), т.е. у’ = g(х)/f(х). Разумеется, это возможно только при условии, что f(х) не обращается в ноль. Пример: 3^х•у’ = х² – 1 → у’ = (х² - 1)/3^х.
3
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными называются так потому, что производная у’ в данном случае буквально разделена на две составляющие dу и dх, которые находятся по разные стороны от знака равно. Это уравнения вида f(у)•dу = g(х)•dх. Пример: (у² – sin у)•dу = tg х/(х - 1)•dх.
4
Два описанных вида дифференциальных уравнений носят название обыкновенных или сокращенно ОДУ. Однако уравнения первого порядка могут быть и более сложными, неоднородными. Они называются ЛНДУ – линейные неоднородные уравнения у’ + f(х)•у = g(х).
К ЛНДУ относится, в частности, уравнение Бернулли у’ + f(х)•у = g(х)•у^a. Пример: 2•у’ – х²•у = (ln х/х³)•у². А также уравнение в полных дифференциалах f(х, у)dх + g(х, у)dу = 0, где ∂fх(х, у)/∂у = ∂gу(х, у)/∂х. Пример: (х³ – 2•х•у)dх – х²dу = 0, где х³ – 2•х•у – частная производная по х от функции ¼•х^4 – х²•у + C, а (–х²) – ее частная производная по у.
5
Простейшим видом ОДУ второго порядка является у’’ + p•у’ + q•у = 0, где p и q – постоянные коэффициенты. ЛНДУ второго порядка – это усложненная версия ОДУ, а именно у’’ + p•у’ + q•у = f(х). Пример: у’’ – 5•у’ + 13•у = sin х. Если p и q – функции аргумента х, то уравнение может выглядеть примерно так: у’’ – 5•х²•у’ + 13•(х - 1)•у = sin х.
6
Дифференциальные уравнения высших порядков подразделяются на три подвида: допускающие понижение порядка, уравнения с постоянными коэффициентами и с коэффициентами в виде функций аргумента х:

• Выражение f(х, у^(m), у^(m+1),…, у^(n)) = 0 не содержит производных ниже порядка m, значит, через замену z= у^(m) можно уменьшить порядок. Тогда уравнение преобразуется в вид f(х, z, z’,…, z^(n - m)) = 0. Пример: у’’’•х – 4•у² = у’ - 2 → z’’•х – 4•у² = z - 2, где z = у’ = dу/dх;
• ЛОДУ у^(k) + p_(k-1)•у^(k-1) + … + p1•у’ + p0•у = 0 и ЛНДУ у^(k) + p_(k-1)•у^(k-1) + … + p1•у’ + p0•у = f(х) с постоянными коэффициентами pi. Примеры: у^(3) + 2•у’’ – 15•у’ + 3•у = 0 и у^(3) + 2•у’’ – 15•у’ + 3•у = 2•х³ – ln х;
• ЛОДУ у^(k) + p(х)_(k-1)•у^(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = 0 и ЛНДУ у^(k) + p(х)_(k-1)•у^(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = f(х) с коэффициентами-функциями pi(х). Примеры: у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arсsin х•у’ + 9•х•у = 0 и у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arcsin х•у’ + 9•х•у = 2•х³ – ln х.
7
Вид конкретного дифференциального уравнения не всегда бывает очевидным. Тогда следует внимательно рассмотреть его на предмет приведения к одному из канонических типов, чтобы применить соответствующий способ решения. Сделать это можно разными методами, наиболее распространенными из них являются замена и разложение производной на составляющие у’ = dу/dх.

Совет 3: Как решить уравнение по математике

Слово "уравнение" говорит о том, что записывается некое равенство. В нем есть известные и неизвестные величины. Существуют уравнения разного типа - логарифмические, показательные, тригонометрические и другие. Рассмотрим, как научиться решать уравнения, на примере линейных уравнений.
Инструкция
1
Научитесь решать простейшее линейное уравнение вида ax+b=0. x - это неизвестное, которое надо найти. Линейными называются уравнения, в которых x может быть только в первой степени, никаких квадратов и кубов. a и b - любые числа, причем a не может равняться 0. Если a или b представлены в виде дробей, то в знаменателе дроби никогда не бывает x. Иначе может получиться не линейное уравнение.Решается линейное уравнение просто. Переносим b на другую сторону знака равенства. При этом знак, который стоял перед b, меняется на противоположный. Был плюс - станет минус. Получаем ax=-b.Теперь находим x, для чего делим обе части равенства на a. Получаем x=-b/a.
2
Чтобы решать более сложные уравнения, запомните 1-е тождественное преобразование. Смысл его в следующем. К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число или выражение. И по аналогии - от обеих частей уравнения можно отнять одно и то же число или выражение.Пусть имеется уравнение 5x+4=8. Отнимем от левой и правой части одно и то же выражение (5x+4). Получаем 5x+4-(5x+4)=8-(5x+4). После раскрытия скобок имеет 5x+4-5x-4=8-5x-4. В итоге получается 0=4-5x. При этом выглядит уравнение по-другому, но суть его осталась прежней. Исходное и конечное уравнения называются тождественно равными.
3
Запомните 2-е тождественное преобразование. Обе части уравнения можно умножить на одно и то же число или выражение. По аналогии - обе части уравнения можно разделить на одно и то же число или выражение. Естественно, не следует умножать или делить на 0.Пусть имеется уравнение 1=8/(5x+4). Умножим обе части на одно и то же выражение (5x+4). Получаем 1*(5x+4)=(8*(5x+4))/(5x+4). После сокращения получаем 5x+4=8.
4
Научитесь с помощью упрощений и преобразований приводить линейные уравнения к знакомому виду. Пусть имеется уравнение (2x+4)/3-(5x-2)/2=11+(x-4)/6. Это уравнение точно является линейным, потому что x находится в первой степени и в знаменателях дробей x отсутствует. Но уравнение не похоже на простейшее, разобранное на 1-м шаге.Применим 2-е тождественное преобразование. Умножим обе части уравнения на число 6 - общий знаменатель всех дробей. Получаем 6*(2x+4)/3-6*(5x-2)/2=6*11+6*(x-4)/6. После сокращения числителя и знаменателя имеем 2*(2x+4)-3*(5x-2)=66+1*(x-4). Раскроем скобки 4x+8-15x+6=66+x-4. В итоге 14-11x=62+x.Применим 1-е тождественное преобразование. Отнимем от левой и правой части выражение (62+x). Получаем 14-11x-(62+x)=62+x-(62+x). В итоге 14-11x-62-x=0. Получаем -12x-48=0. А это - простейшее линейное уравнение, решение которого разобрано на 1-м шаге. Сложное начальное выражение с дробями мы представили в обычном виде, используя тождественные преобразования.
Обратите внимание
Часто ошибки допускаются при раскрытии скобок. Помните о том, что если перед скобкой стоит знак минус, при избавлении от скобки знаки меняются на противоположные. Например, на 4-м шаге открывали скобку -(62+x)=-62-x.
Совет полезен?
Решайте больше уравнений по учебнику, в конце которого есть ответы. Контролируйте правильность выполнения заданий.
Источники:
  • Работа математика относится к наименее стрессовой
  • как решить математические уравнения

Совет 4: Как подключить дифференциальные автоматы

Существует два основных варианта установки дифференциального автомата. Он ставится один на всю электросеть, или же устанавливается несколько изделий по одному на каждую отдельную линию. Можно поставить дифференциальный автомат при выборочной установке не на каждую линию, а только там, где следует обеспечить безопасность людей при возможном контакте с токопроводящими частями электрооборудования. При этом нужно руководствоваться главным правилом установки дифавтоматов – это должен делать только специалист.
Инструкция
1
Проверьте устанавливаемое устройство на предмет повреждений и трещин согласно требованиям Правил установки. Это сделать необходимо, так как при наличии данных неисправностей не будет обеспечиваться полноценная защита. Данные правила касаются всех без исключения подобных устройств. Следует тщательно проверить исправность работы механизма включения устройства и соответствующую маркировку на корпусе изделия. Дифференциальные автоматы и УЗО (устройства защитного отключения) представляют собой почти одинаковые изделия, поэтому подключаются они одинаково.
2
Установите дифференциальный автомат в электрощите на DIN-рейку. Принцип его работы: он сравнивает электрический ток, проходящий по фазному проводнику с током, проходящему по нулевому проводнику. Их значение обычно одинаково, если исправное устройство и не повреждена изоляция электропроводки. В случае, когда в цепи возникнет ток утечки, то их значение станет разным. Дифавтомат мгновенно определит данные изменения и сравнит уровень тока утечки с номинальным значением, предусмотренного для данного устройства. Когда показания тока утечки превысят показатель номинального значения, то автомат отключит питание на этом участке электросети. Включить заново электроснабжение возможно только после устранения неполадок.
3
Подсоедините к дифференциальному автомату два провода – нулевой и фазный при сети 220 В или три фазных и один нулевой при сети 380 В. Дифавтомат отличается от УЗО тем, что он не только защищает человека от поражения электрическим током, но производит автоматическое отключение любого отрезка сети в случае перегрузки или короткого замыкания. В нем встроена защита от сверхтоков, чего нет в УЗО. Согласно нормативным постановлениям, рекомендуется производить установку только дифференциальных автоматов. В групповых линиях строго запрещается ставить обыкновенные УЗО, если не стоит дополнительное устройство, отвечающее за защиту от коротких замыканий и перегрузок. Есть отдельный регламент установки данных устройств в жилых помещениях. Допускаются к установке только устройства защитного отключения типа «А», реагирующие на пульсирующие и переменные токи повреждений. Можно также устанавливать УЗО типа «АС», реагирующие только на переменные токи утечки.
Видео по теме

Совет 5: Как составить дифференциальное уравнение

Изучение курса дифференциального исчисления всегда начинается с составления дифференциальных уравнений. Прежде всего рассматривают несколько физических задач, при математическом решении которых неизбежно возникают производные различных порядков. Уравнения, которые содержат аргумент, искомую функцию и ее производные называют дифференциальными.
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага.
Инструкция
1
В исходных физических задачах аргументом, чаще всего, является время t. Общий принцип составления дифференциального уравнения (ДУ) состоит в том, что на малых приращениях аргумента функции почти не меняются, что позволяет заменять приращения функции их дифференциалами. Если в постановке задачи речь зайдет о скорости изменения какого-либо параметра, то сразу следует писать производную параметра (со знаком минус, если некоторый параметр уменьшается).
2
Если в процессе рассуждений и выкладок возникли интегралы, их можно устранить дифференцированием. И наконец, в физических формулах производных и так более чем достаточно. Самое главное – рассмотреть как можно больше примеров, которые в процессе решения необходимо довести до стадии составления ДУ.
3
Пример 1. Как рассчитать изменение напряжения на выходе заданной интегрирующей RC – цепи, при заданном входном воздействии?

Решение. Пусть входное напряжение U(t), а искомое выходное u(t) (см. рис.1).
Входное напряжение состоит из суммы выходного u(t) и падения напряжения на сопротивления R - Ur(t).
U(t)=Ur(t)+Uc(t); по закону Ома Ur(t)=i(t)R, i(t)=C(dUc/dt). С другой стороны Uc(t)=u(t), а i(t) – ток цепи (в том числе и на емкости С). Значит i=C(du/dt), Ur=RC(du/dt). Тогда баланс напряжений в электрической цепи можно переписать в виде: U=RC(du/dt)+u. Разрешая это уравнение относительно первой производной, имеем:
u’(t)=-(1/RC)u(t)+(1/RC)U(t).
Это ДУ первого порядка. Решением задачи будет его общее решение (неоднозначное). Для получения однозначного решения надо задавать начальные условия (краевые) в виде u(0)=u0.
4
Пример 2. Найти уравнение гармонического осциллятора.

Решение. Гармонический осциллятор (колебательный контур) – основной элемент радиопередающих и радиоприемных устройств. Это замкнутая электрическая цепь, содержащая параллельно соединенные емкость С (конденсатор) и индуктивность L (катушка). Известно, что токи и напряжения на таких реактивных элементах связаны равенствами Iс=C(dUc/dt)=CU’c,
Ul=-L(dIl/dt)=-LI’l . Т.к. в этой задаче все напряжения и все токи одинаковы, то окончательно
I’’+(1/LC)I=0.
Получено ДУ второго порядка.
Видео по теме

Совет 6: Как решить дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка относится к простейшим дифференциальным уравнениям. Они наиболее легко поддаются исследованию и решению, а в конечном итоге их всегда можно проинтегрировать.
Инструкция
1
Решение дифференциального уравнения первого порядка рассмотрим на примере xy'=y. Вы видите, что оно содержит: х - независимую переменную; у - зависимую переменную, функцию; y' - первую производную функции.

Не пугайтесь, если в некоторых случаях в уравнении первого порядка не будет «х» или (и) «у». Главное, чтобы в дифференциальном уравнении обязательно была y' (первая производная), и отсутствовали y'', y'''(производные высших порядков).
2
Представьте производную в следующем виде: y'=dydx (формула знакома из школьной программы). Ваша производная должна выглядеть следующим образом: x*dydx=y, где dy, dx - дифференциалы.
3
Теперь разделите переменные. Например, в левой части оставьте только переменные содержащие y, а в правой - переменные содержащие x. У вас должно получиться следующее: dyy=dxx.
4
Проинтегрируйте полученное в предыдущих манипуляциях дифференциальное уравнение. Вот так: dyy=dxx
5
Теперь вычислите имеющиеся интегралы. В этом простом случае они табличные. Вы должны получить следующий результат: lny=lnx+C
Если ваш ответ отличается от представленного здесь, проверьте все записи. Где-то допущена ошибка и ее нужно исправить.
6
После того, как вычислены интегралы, уравнение можно считать решенным. Но полученный ответ представлен в неявном виде. На данном шаге вы получили общий интеграл. lny=lnx+C
Теперь представьте ответ в явном виде или, другими словами, найти общее решение. Перепишите полученный на предыдущем шаге ответ в следующем виде: lny=lnx+C, воспользуйтесь одним из свойств логарифмов: lna+lnb=lnab для правой части уравнения (lnx+C) и отсюда выразите у. Вы должны получить запись: lny=lnCx
7
Теперь уберите логарифмы и модули с обеих частей: y=Cx, С – cons
Вы имеете функцию, представленную в явном виде. Это и называется общим решением для дифференциального уравнения первого порядка xy'=y.
Видео по теме

Совет 7: Как решать линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение, в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными. Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.
Вам понадобится
  • - линейное уравнение с двумя переменными;
  • - второе уравнение или дополнительные условия.
Инструкция
1
Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные члены – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.
2
Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на такое число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.
3
Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут решением задачи.
4
Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, возраст, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество детей, яблок, деревьев и т.д. – тогда значениями могут быть только целые числа. Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.
5
Постройте график прямой, соответствующий линейному уравнению. Посмотрите на график, возможно, на нем будет всего лишь несколько решений, удовлетворяющих всем условиям – например, целых и положительных чисел. Они и будут являться решениями вашего уравнения.
Источники:
  • как решить уравнение с одной переменной

Совет 8: Как решать дифференциальное уравнение

Задачи на дифференциальное и интегральное исчисление являются важными элементами закрепления теории математического анализа, раздела высшей математики, изучаемой в вузах. Дифференциальное уравнение решается методом интегрирования.
Инструкция
1
Дифференциальное исчисление исследует свойства функций. И наоборот, интегрирование функции позволяет по данным свойствам, т.е. производным или дифференциалам функции найти ее саму. В этом и заключается решение дифференциального уравнения.
2
Любое уравнение является соотношением между неизвестной величиной и известными данными. В случае дифференциального уравнения роль неизвестного играет функция, а роль известных величин – ее производные. Кроме этого, соотношение может содержать независимую переменную:F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y^n(x)) = 0, где x – неизвестная переменная, y(x) – функция, которую нужно определить, порядок уравнения – это максимальный порядок производной (n).
3
Такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же в соотношении несколько независимых переменных и частные производные (дифференциалы) функции по этим переменным, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными и имеет вид:x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0, где z(x, y) – искомая функция.
4
Итак, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения, необходимо уметь находить первообразные, т.е. решать задачу, обратную дифференцированию. Например:Решите уравнение первого порядка y’ = -y/x.
5
РешениеЗамените y’ на dy/dx: dy/dx = -y/x.
6
Приведите уравнение к виду, удобному для интегрирования. Для этого умножьте обе части на dx и разделите на y:dy/y = -dx/x.
7
Проинтегрируйте:∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| + C.
8
Представьте константу в виде натурального логарифма C = ln |C|, тогда:ln|xy| = ln|C|, откуда xy = C.
9
Это решение называется общим решением дифференциального уравнения. С – это константа, множество значений которой определяет множество решений уравнения. При любом конкретном значении С решение будет единственным. Такое решение является частным решением дифференциального уравнения.

Совет 9: Как решать уравнения высших степеней

Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения. Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.
Инструкция
1
Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение на множители. Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на двучлен вида (x – x0).
2
Например, решите уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0.Решение.Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставьте их по очереди в уравнение и выясните, получится ли тождество:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.
3
Итак, первый же предположительный корень дал правильный результат. Разделите многочлен уравнения на (x - 1). Деление многочленов выполняется столбиком и отличается от обычного деления чисел только наличием переменной.
4
Перепишите уравнение в новом виде (x - 1)·(x³ +2·x² + 4·x + 3) = 0. Наибольшая степень многочлена уменьшилась до третьей. Продолжите подбор корней уже для кубического многочлена:1: 1 + 2 + 4 + 3 ≠ 0;-1: -1 + 2 – 4 + 3 = 0.
5
Второй корень x = -1. Поделите кубический многочлен на выражение (x + 1). Запишите получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Степень понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решите квадратное уравнение:x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11
6
Дискриминант – отрицательная величина, значит, действительных корней у уравнения больше нет. Найдите комплексные корни уравнения:x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.
7
Запишите ответ:x1,2 = ±1; x3,4 = -1/2 ± i·√11/2.
8
Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например:x^4 – 13·x² + 36 = 0
9
Это уравнение называется биквадратным. Чтобы привести его к квадратному, сделайте замену y = x². Тогда:y² – 13·y + 36 = 0D = 169 – 4·36 = 25y1 = (13 + 5)/2 = 9; y2 = (13 - 5)/2 = 4.
10
Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Совет 10: Как определить окислительно-восстановительные уравнения

Химическая реакция – это процесс превращения веществ, протекающий с изменением их состава. Те вещества, которые вступают в реакцию, называются исходными, а те, которые образуются в результате этого процесса – продуктами. Бывает так, что в ходе химической реакции элементы, входящие в состав исходных веществ, изменяют свою степень окисления. То есть они могут принять чужие электроны и отдать свои. И в том, и в другом случае меняется их заряд. Такие реакции называются окислительно-восстановительными.
Инструкция
1
Запишите точное уравнение химической реакции, которую вы рассматриваете. Посмотрите, какие элементы входят в состав исходных веществ, и каковы степени окисления этих элементов. После этого сравните эти показатели со степенями окисления тех же элементов в правой части реакции.
2
Если степень окисления изменилась, эта реакция является окислительно-восстановительной. Если же степени окисления всех элементов остались прежними – нет.
3
Вот, например, широко известная качественная реакция обнаружения сульфат-иона SO4 ^2-. Ее суть в том, что сернокислая соль бария, которая имеет формулу BaSO4, практически нерастворима в воде. При образовании она мгновенно выпадает в виде плотного тяжелого белого осадка. Запишите какое-либо уравнение подобной реакции, например, BaCl2 + Na2SO4 = BaSO4 + 2NaCl.
4
Итак, из реакции вы видите, что кроме осадка сульфата бария образовался хлорид натрия. Является ли эта реакция окислительно-восстановительной? Нет, не является, поскольку ни один элемент, входящий в состав исходных веществ, не изменил свою степень окисления. И в левой, и в правой части химического уравнения барий имеет степень окисления +2, хлор -1, натрий +1, сера +6, кислород -2.
5
А вот реакция Zn + 2HCl = ZnCl2 + H2. Является ли она окислительно-восстановительной? Элементы исходных веществ: цинк (Zn), водород (Н) и хлор (Сl). Посмотрите, каковы их степени окисления? У цинка она равна 0 как в любом простом веществе, у водорода +1, у хлора -1. А каковы степени окисления этих же элементов в правой части реакции? У хлора она осталась неизменной, то есть равной -1. Зато у цинка стала равной +2, а у водорода - 0 (поскольку водород выделился в виде простого вещества - газа). Следовательно, эта реакция является окислительно-восстановительной.
Видео по теме

Совет 11: Как записывать уравнение гармонических колебаний

Уравнение гармонических колебаний записывается с учетом знаний о виде колебаний, количестве различных гармоник. Также необходимо знать такие неотъемлемые параметры колебания, как фаза и амплитуда.
Инструкция
1
Как известно, понятие гармоничности аналогично понятию синусоидальности или косинусоидальности. Это означает, что гармонические колебания можно назвать синусоидальными или косинусоидальными в зависимости от начальной фазы. Таким образом, записывая уравнение гармонических колебаний, первым делом записывается функция синуса или косинуса.
2
Вспомните, что тригонометрическая функция синуса при стандартной ее записи имеет максимальное значение, равное единице, и соответствующее минимальное значение, отличающееся лишь знаком. Таким образом, амплитуда колебаний функции синуса или косинуса равна единице. Если перед самим синусом поставить в качестве коэффициента пропорциональности некоторый коэффициент, то амплитуда колебаний будет равна данному коэффициенту.
3
Не забывайте о том, что и в любой тригонометрической функции есть аргумент, описывающий такие важные параметры колебаний, как начальная фаза и частота колебаний. Итак, любой аргумент некоторой функции содержит в себе некоторое выражение, которое, в свою очередь, содержит некоторую переменную. Если речь идет о гармонических колебаниях, то под выражением понимается линейная комбинация, состоящая из двух членов. Переменной же служит величина времени. Первый член является произведением частоты колебаний и времени, второй – начальной фазой.
4
Разберитесь в том, как влияет на вид колебаний значения фазы и частоты. Нарисуйте на листе бумаги функцию синуса, в аргументе которой стоит переменная без коэффициента. Рядом нарисуйте график этой же функции, но перед аргументом поставьте коэффициент пропорциональности, равный десяти. Вы увидите, что при увеличении коэффициента пропорциональности, стоящего перед переменной, увеличивается количество колебаний на фиксированный временной интервал, то есть увеличивается частота.
5
Изобразите на графике стандартную функцию синуса. На этом же графике покажите, как выгладит функция, отличающаяся от предыдущей наличием второго члена в аргументе, равного 90 градусам. Вы обнаружите, что вторая функция фактически будет представлять собой функцию косинуса. Собственно говоря, такой вывод не удивителен, если воспользоваться формулами приведения тригонометрии. Итак, второй член в аргументе тригонометрической функции гармонических колебаний характеризует момент, с которого колебания начинаются, поэтому он и называется начальной фазой.
Видео по теме

Совет 12: Где применяются дифференциальные уравнения

Многие студенты, изучающие на старших курсах высшую математику, наверняка задавались вопросом: где на практике применяются дифференциальные уравнения (ДУ)? Как правило, на лекциях этот вопрос не обсуждается, и преподаватели сразу же переходят к решению ДУ, не объясняя студентам применение дифференциальных уравнений в реальной жизни. Постараемся восполнить этот пробел.
Начнем с определения дифференциального уравнения. Итак, дифференциальное уравнение - это уравнение, которое связывает значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной и некоторыми числами (параметрами).
Самая распространенная область, в которой применяются дифференциальные уравнения - математическое описание природных явлений. Также их применяют при решении задач, где невозможно установить прямую связь между некоторыми значениями, описывающими какой-либо процесс. Такие задачи возникают в биологии, физике, экономике.

В биологии:



Первой содержательной математической моделью, описывающей биологические сообщества была модель Лотки — Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону x′ = –ax (a > 0), а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается в соответствии с законом Мальтуса. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому y′ = by – dxy. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных жертв: x′ = –ax + cxy (c > 0). Система уравнений
x′ = –ax + cxy, (1)
y′ = by – dxy, (2)
описывающая такую популяцию хищник — жертва и называется системой (или моделью) Лотки — Вольтерры.

В физике:



Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения
m((d^2)x)/(dt^2) = F(x,t),
где m — масса тела, x — его координата, F(x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

В экономике:



Модель естественного роста выпуска
Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е.
I(t)=mPQ(t), (1)

где m — норма инвестиции — постоянное число, причем 0 < т < 1.
Если исходить из предположения о ненасыщаемости рынка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска (акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т.е.

Q′ = lI, (2)

где 1/l — норма акселерации. Подставив в (2) формулу (1), получим

Q′ = kQ, k=lmP. (3)

ДУ (3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид

Q = C^ekt,

где С — произвольная постоянная.

Таким образом, дифференциальные уравнения имеют достаточно широкое применение в различных областях.
Источники:
  • Дифференциальные уравнения - общая информация и сфера применения
Источники:
  • типы дифференциальных уравнений
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500