Совет 1: Как построить ортогональную проекцию

Ортогональную, или прямоугольную, проекцию (от лат. proectio − «бросание вперед») можно физически представить как тень, отбрасываемую фигурой. При конструировании зданий и других объектов также используется проекционное изображение.
Инструкция
1
Чтобы получить проекцию точки на ось, постройте перпендикуляр к оси из этой точки. Основание перпендикуляра (точка, в которой перпендикуляр пересекает ось проекции) и будет, по определению, искомой величиной. Если точка на плоскости имеет координаты (x,y), то ее проекция на ось Ox будет иметь координаты (x,0), на ось Oy − (0,y).
2
Пусть теперь на плоскости задан отрезок. Чтобы найти его проекцию на координатную ось, надо восстановить перпендикуляры к оси из его крайних точек. Получившийся отрезок на оси и будет ортогональной проекцией данного отрезка. Если концевые точки отрезка имели координаты (A1,B1) и (A2,B2), то его проекция на ось Ox расположится между точками (A1,0) и (A2,0). Крайними точками проекции на ось Oy станут (0,B1), (0,B2).
3
Для построения прямоугольной проекции фигуры на ось проведите перпендикуляры из крайних точек фигуры. К примеру, проекцией круга на любую ось будет отрезок, равный диаметру.
4
Чтобы получить ортогональную проекцию вектора на ось, постройте проекции начала и конца вектора. Если вектор уже перпендикулярен координатной оси, его проекция вырождается в точку. Подобно точке проецируется нулевой вектор, не имеющий длины. Если свободные векторы равны, то равны и их проекции.
5
Пусть вектор b образует с осью x угол ψ. Тогда проекция вектора на ось Пр(x)b = |b|·cosψ. Для доказательства этого положения рассмотрите два случая: когда угол ψ острый и тупой. Используйте определение косинуса, находя его отношением прилежащего катета к гипотенузе.
6
Рассматривая алгебраические свойства вектора и его проекций, можно заметить, что:1) Проекция суммы векторов a+b равна сумме проекций Пр(x)a+Пр(x)b;2) Проекция вектора b, умноженного на скаляр Q, равна проекции вектора b, умноженной на это же число Q: Пр(x)Qb=Q·Пр(x)b.
7
Направляющими косинусами вектора называются косинусы, образованные вектором с координатными осями Ox и Oy. Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. Чтобы найти координаты вектора, не равного единице, надо направляющие косинусы умножить на его длину.

Совет 2: Как построить проекцию

Проекция прочно ассоциируется с точными науками - геометрией и черчением. Однако это не мешает ей встречаться сплошь и рядом в далеко, казалось бы, не научных и обыденных вещах: тень предмета, которая ложится на плоскую поверхность при солнечном освещении, шпалы железной дороги, любая карта и любой чертеж уже есть не что иное? как проекция. Конечно, создание карт и чертежей требует глубокого изучения предмета, а вот простейшие проекции можно построить самостоятельно, вооружившись только линейкой и карандашом.
Вам понадобится
  • * карандаш;
  • * линейка;
  • * лист бумаги.
Инструкция
1
Первый способ построения проекции называется центральным проектированием и особенно подходит для изображения на плоскости предметов, когда необходимо уменьшить или увеличить их фактический размер (Рис. а). Алгоритм центрального проектирования заключается в следующем: обозначаем плоскость проектирования(П') и центр проектирования (S). Чтобы спроектировать треугольник АВС в плоскость П', проводим через точку центра S и точки А, В и С прямые АS, SВ и SC. Пересечение их с плоскостью П' образует точки А', В' и С', при соединении которых прямыми мы получаем центральную проекцию треугольника АВС.
Как построить проекцию
2
Второй способ отличается от описанного выше только в том, что прямые, при помощи которых вершины треугольника АВС проектируются в плоскость П', не пересекаются, а параллельны обозначенному направлению проектирования (S). Нюанс: направление проектирования не может быть параллельно плоскости П'. При соединении точек проектирования А'В'С' мы получаем параллельную проекцию.

Несмотря на простоту, навык построения таких вот простых проекций отлично помогает развить пространственное мышление и может смело считаться первым шагом в начертательной геометрии.
Как построить проекцию
Видео по теме

Совет 3: Как найти проекции на оси

Чтобы найти проекцию вектора или отрезка на координатные оси, нужно опустить перпендикуляры с крайних точек на каждую из осей. Если же известны координаты вектора или отрезка, его проекцию на оси можно вычислить. То же можно сделать, если известна длина вектора и угол между ним и осью.
Вам понадобится
  • - понятие о декартовой системе координат;
  • - тригонометрические функции;
  • - действия с векторами.
Инструкция
1
Изобразите вектор или отрезок в системе координат. Затем, из одного из концов отрезка или вектора опустите перпендикуляры на каждую из осей. На пересечении перпендикуляра и каждой оси отметьте точку. Повторите эту процедуру для второго конца отрезка или вектора.
2
Измерьте расстояние от начала координат, до каждой из точек пересечения перпендикуляров с системой координат. На каждой оси от большего расстояния вычтите меньшее - это и будет проекция отрезка или вектора на каждую из осей.
3
Если известны координаты окончаний вектора или отрезка, чтобы найти его проекции на оси, от координат конца вычтите соответствующие координаты начала. Если значение получается отрицательным, берите его модуль. Знак минус означает, что проекция находится в отрицательной части координатной оси. Например, если координаты начала вектора (-2;4;0), а координаты конца (2;6;4), то проекция на ось ОХ равна 2-(-2)=4, на ось OY: 6-4=2, на ось OZ: 4-0=4.
4
Если даны координаты вектора, то они и являются проекциями на соответствующие оси. Например, если вектор имеет координаты (4;-2;5), то это значит, что проекция на ось ОХ равна 4, на ось OY: 2, на ось OZ: 5. Если координата вектора равна 0, то и его проекция на эту ось тоже равна 0.
5
В том случае, если известна длина вектора и угол между ним и осью (как в полярных координатах), то для того, чтобы найти его проекцию на эту ось, нужно умножить длину этого вектора на косинус угла между осью и вектором. Например, если известно, что длина вектора составляет 4 см, а угол между ним и осью OX в системе координат XOY равен 60º.
6
Чтобы найти его проекцию на ось OX, умножьте 4 на cos(60º). Расчет 4•cos(60º)=4•1/2=2 см. Найдите проекцию на ось OY, найдя угол между ней и вектором 90º-60º=30º. Тогда его проекция на эту ось составит 4•cos(30º)=4•0,866=3,46 см.
Источники:
  • найти проекцию вектора

Совет 4: Как найти проекцию прямой на плоскость

Проекцией того или иного объемного объекта называют его изображение на плоскости. Умение строить проекции необходимо представителям самых разных профессий. Это настолько распространенное явление, что люди зачастую даже о нем не думают, просто составляют планы и карты, изображения деталей под тем или иным углом и т.д. Прежде всего, необходимо научиться строить проекцию прямой линии.
Вам понадобится
  • - плоскость;
  • - прямая, не принадлежащая данной плоскости;
  • - угольник;
  • - карандаш.
Инструкция
1
Представьте себе плоскость, на которую необходимо спроецировать прямую. Обозначьте ее, например, на листе бумаги. В любом случае, у вас получится изображение на плоскости, так что оно будет достаточно условным. Вам придется применить некоторое пространственное воображение, чтобы представить, как это будет выглядеть в трехмерном пространстве.
2
Проведите прямую, которая не лежит на этой плоскости. Конечно, можно построить и проекцию любой линии, принадлежащей данной плоскости, но она будет полностью совпадать с исходной прямой. Если никаких дополнительных параметров не задано, постройте произвольную прямую. Но в условиях может быть указан и угол между вашими объектами. Он образуется в точке их пересечения.
Проведите прямую, которая не принадлежит заданной плоскости
3
Для того, чтобы построить самую простую ортогональную (прямоугольную) проекцию, опустите из двух любых точек, принадлежащих заданной прямой, перпендикуляры на плоскость. Соедините их отрезком. Это и будет прямоугольная проекция данной линии на плоскость. Если исходная прямая представляет собой отрезок, то спроецировать необходимо его концы. Для луча берется начальная точка и любая другая. Для прямой произвольной длины лучше всего сначала найти место ее пересечения с плоскостью.
4
Чтобы лучше представить, как образуется прямоугольная проекция, проделайте следующий опыт. Повесьте на стену небольшой экран. Можно использовать и просто белую стену. Вам понадобится еще кусок веревки и 2 стула или прикрепленных к столу стойки, а также любой источник света. Привяжите веревку к стойкам. Поставьте их так, чтобы шнур был натянут и находился под углом к экрану. Измерьте шнур.

Поставьте настольную лампу так, чтобы ее луч падал на экран под прямым углом. При этом он должен освещать и веревку. Погасив верхний свет, вы увидите, что натянутый шнур отбрасывает тень на экран, и длина тени не совпадает с длиной шнура. Тень и представляет собой проекцию — в данном случае, прямоугольную. Поэкспериментируйте, размещая источник света так, чтобы его луч падал на экран под разными углами.
Источники:
  • Построение проекций в курсе начертательной геометрии
  • проекции прямой на плоскость

Совет 5: Как найти проекцию точки на плоскость

Метод проекций является основой теории построения чертежных изображений в инженерной графике. Чаще всего он используется, когда необходимо найти изображение тела в виде его проекции на плоскости либо получить данные о его положении в пространстве.
Инструкция
1
В многомерном пространстве любое изображение объекта на плоскости можно получить с помощью проецирования. Однако не стоит судить о геометрической форме тела либо о форме простейших образов в геометрии на основе одной проекции точки. Наиболее полную информацию об изображении геометрического тела дает несколько проекций точек. Для чего используют проекции точек тела минимум в двух плоскостях.
2
Например, необходимо построить проекцию точки А. Для этого расположите две плоскости перпендикулярно друг другу. Одну -горизонтально, называя ее горизонтальной плоскостью и обозначая все проекции элементов с индексом 1. Вторую - вертикально. Назовите ее, соответственно, фронтальной плоскостью, а проекциям элементов присвойте индекс 2. Обе эти плоскости считайте бесконечными и непрозрачными. Линией их пересечений становится ось координат ОХ.
3
Затем примите как факт, что пространство между плоскостями проекции условно делится на четверти. Вы находитесь в первой четверти и видите только те линии и точки, которые находятся в этой области двугранного угла.
4
Суть процесса проецирования состоит в проведении луча через заданную точку, пока луч не встретится с плоскостью проекций. Данный метод получил название метода ортогонального проецирования. Согласно нему, опустите из точки А перпендикуляр на горизонтальную и фронтальную плоскость. Основанием этого перпендикуляра как раз и будет горизонтальная проекция точки А1 либо фронтальная проекция точки А2. Таким образом, вы получите положение этой точки в пространстве заданных плоскостей проекций.
Видео по теме
Обратите внимание
На основе метода проецирования вы можете найти проекцию не одной, а нескольких точек фигуры. И если соедините их линиями на чертеже, получите проекцию этой фигуры в нескольких плоскостях.

Совет 6: Как найти координаты проекций точек

Пара точек, одна из которых является проекцией другой на плоскость, позволяет составить уравнение прямой, если известно уравнение плоскости. После этого задачу нахождения координат точки проекции можно свести к определению точки пересечения построенной прямой и плоскости в общем виде. После получения системы уравнений в нее останется подставить значения координат исходной точки.
Инструкция
1
Рассмотрите прямую, проходящую через точку A₁(X₁;Y₁;Z₁), координаты которой известны из условий задачи, и ее проекцию на плоскость Aₒ(Xₒ;Yₒ;Zₒ), координаты которой нужно определить. Эта прямая должна быть перпендикулярна плоскости, поэтому в качестве направляющего вектора используйте нормальный к плоскости вектор. Плоскость задается уравнением a*X + b*Y + c*Z - d = 0, значит, нормальный вектор можно обозначить как ā = {a;b;c}. Исходя из этого вектора и координат точки, составьте канонические уравнения рассматриваемой прямой: (X-X₁)/a=(Y-Y₁)/b=(Z-Z₁)/c.
2
Найдите точку пересечения прямой с плоскостью, записав полученные в предыдущем шаге уравнения в параметрической форме: X = a*t+X₁, Y = b*t+Y₁ и Z = c*t+Z₁. Эти выражения подставьте в известное из условий уравнение плоскости, чтобы найти такое значение параметра tₒ, при котором прямая пересекает плоскость:a*(a*tₒ+X₁) + b*(b*tₒ+Y₁) + c*(c*tₒ+Z₁) - d = 0Преобразуйте его так, чтобы в левой части равенства осталась только переменная tₒ:a²*tₒ + a*X₁ + b²*tₒ + b*Y₁ + c²*tₒ + c*Z₁ - d = 0a²*tₒ + b²*tₒ + c²*tₒ = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ*(a² + b² + c²) = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ = (d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)
3
Подставьте полученное значение параметра для точки пересечения в уравнения проекций на каждую координатную ось из второго шага:Xₒ = a*tₒ+X₁ = a*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + X₁Yₒ = b*tₒ+Y₁ = b*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Y₁Zₒ = c*tₒ+Z₁ = c*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Z₁Рассчитанные по этим формулам величины и будут значениями абсциссы, ординаты и аппликаты точки проекции. Например, если исходная точка A₁ задана координатами (1;2;-1), а плоскость определена формулой 3*X-Y+2*Z-27 = 0, координаты проекции этой точки будут равны:Xₒ = 3*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 1 = 3*28/14 + 1 = 7Yₒ = -1*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 2 = -1*28/14 + 2 = 0Zₒ = 2*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + (-1) = 2*28/14 - 1 = 3Значит, координаты точки проекции Aₒ(7;0;3).
Видео по теме

Совет 7: Как определить проекцию вектора

Вектор можно рассматривать как упорядоченную пару точек в пространстве или направленный отрезок. В школьном курсе аналитической геометрии часто рассматриваются разные задачи на определение его проекций - на координатные оси, на прямую, на плоскость или на другой вектор. Обычно речь идет о двух- и трехмерных прямоугольных системах координат и перпендикулярных проекциях вектора.
Инструкция
1
Если вектор ā задан координатами начальной A(X₁,Y₁,Z₁) и конечной B(X₂,Y₂,Z₂) точек, а найти требуется его проекцию (P) на оси прямоугольной координатной системы, сделать это очень просто. Посчитайте разность соответствующих координат двух точек - т.е. проекция вектора AB на ось абсцисс будет равна Px = X₂-X₁, на ось ординат Py = Y₂-Y₁, аппликат - Pz = Z₂-Z₁.
2
Для вектора, заданного парой или тройкой (в зависимости от размерности пространства) своих координат ā{X,Y} или ā{X,Y,Z} упростите формулы предыдущего шага. В этом случае его проекции на координатные оси (āx, āy, āz) равны соответствующим координатам: āx = X, āy = Y и āz = Z.
3
Если в условиях задачи координаты направленного отрезка не указаны, но дана его длина |ā| и направляющие косинусы cos(x), cos(y), cos(z), определить проекции на координатные оси (āx, āy, āz) можно как в обычном прямоугольном треугольнике. Просто перемножьте длину на соответствующий косинус: āx = |ā|*cos(x), āy = |ā|*cos(y) и āz = |ā|*cos(z).
4
По аналогии с предыдущим шагом, проекцией вектора ā(X₁,Y₁) на другой вектор ō(X₂,Y₂) можно считать его проекцию на произвольно взятую ось, параллельную вектору ō и имеющую совпадающее с ним направление. Для вычисления этой величины (ā₀) умножайте модуль вектора ā на косинус угла (α) между направленными отрезками ā и ō: ā₀ = |ā|*cos(α).
5
Если угол между векторами ā(X₁,Y₁) и ō(X₂,Y₂) неизвестен, для вычисления проекции (ā₀) ā на ō разделите их скалярное произведение на модуль ō: ā₀ = ā*ō/|ō|.
6
Ортогональной проекцией вектора AB на прямую L называют отрезок этой прямой, образованный перпендикулярными проекциями начальной и конечной точек исходного вектора. Для определения координат точек проекции используйте формулу, описывающую прямую (в общем виде a*X+b*Y+c=0), и координаты начальной A(X₁,Y₁) и конечной B(X₂,Y₂) точек вектора.
7
Аналогичным способом находите и ортогональную проекцию вектора ā на плоскость, заданную уравнением - это должен быть направленный отрезок между двумя точками плоскости. Координаты его начальной точки рассчитайте из формулы плоскости и координат начальной точки исходного вектора. Это же относится и к конечной точке проекции.

Совет 8: Как построить проекцию пирамида

Пирамидой называют пространственную геометрическую фигуру, одна из граней которой является основанием и может иметь форму любого многоугольника, а остальные - боковые - всегда являются треугольниками. Все боковые поверхности пирамиды сходятся в одной общей вершине, противолежащей основанию. Для полного представления на чертеже особенностей этой фигуры вполне достаточно ее горизонтальной и фронтальной проекций.
Инструкция
1
Начните построение проекции пирамиды с правильным треугольным основанием с горизонтальной проекции этого основания. Сначала проведите горизонтальный отрезок, равный длине ребра основания в заданном масштабе. Крайнюю левую его точку обозначьте единицей, а правую - тройкой. Затем отложите длину отрезка на циркуле и пересечение вспомогательных окружностей, проведенных из точек 1 и 2, обозначьте цифрой 3. Соедините точку 3 с краями отрезка - теперь на чертеже есть линии всех трех ребер основания, и построение его горизонтальной проекции можно считать завершенным.
2
На горизонтальной проекции отметьте вершину пирамиды - она будет совпадать с пересечением двух вспомогательных отрезков, проведенных между вершинами треугольника и серединами противолежащих им сторон. Проекцию вершины обозначьте буквой S и соедините ее с углами треугольника основания - это горизонтальные проекции ребер боковых граней. На этом чертеж горизонтальной проекции будет закончен.
3
Чертеж фронтальной проекции начните с построения отрезка 1'-2', параллельного отрезку 1-2 - это будет фронтальная проекция основания. Затем проведите вертикальную линию связи из горизонтальной проекции вершины пирамиды S и отложите от ее пересечения с отрезком 1'-2' расстояние, равное заданной высоте фигуры в том же масштабе. На этом расстоянии поставьте точку S' - это фронтальная проекция вершины.
4
Проведите вертикальную линию связи из точки 3 горизонтальной проекции и отметьте ее пересечение с отрезком 1'-2' - это фронтальная проекция третьего угла основания, обозначьте ее 3'. Затем начертите проекции боковых ребер, соединив точки 1', 2' и 3' с точкой S'. Чертеж фронтальной проекции на этом тоже будет завершен.
5
Последовательность операций для пирамид с основаниями других форм будет такой же - начинайте с горизонтальной проекции, затем по линиям связи стройте фронтальную.
Видео по теме
Источники:
  • проекция пирамида

Совет 9: Что такое электрическая ось сердца

Знаете ли вы, что организм человека — это мини-электростанция? Каждый из нас вырабатывает небольшое количество электроэнергии. Это происходит как в движении, так и в покое — тогда выработка электричества происходит во внутренних органах, одним из которых является сердце.
Одним из медицинских исследований, позволяющих определить состояние сердца, является ЭКГ. Кардиолог снимает электрокардиограмму, чтобы узнать, как сердце расположено в грудной клетке, как работают предсердия, клапаны и желудочки, какова их форма и нет ли функциональных изменений. Один из важнейших показателей ЭКГ — направленность электрической оси сердца.

Что такое ось сердца и как ее найти?



Сердечную ось (как и ось земную) невозможно увидеть или потрогать. Она определяется только с помощью электрокардиографа, ведь он фиксирует электрическую активность сердца. Когда клетки сердечной мышцы напрягаются и расслабляются, повинуясь импульсам, идущим от нервной системы, они образуют электрическое поле, центром которого и является ЭОС (электрическая ось сердца).

Но если заглянуть в анатомический атлас, можно провести вертикальную линию, которая поделит сердце на две равные части — примерно так и располагается ось сердца. Отсюда можно сделать вывод, что ЭОС совпадает с так называемой анатомической осью. Конечно, каждый человек индивидуален, поэтому и электрическая ось у разных людей может располагаться по-иному (к примеру, если отталкиваться от серднестатистического значения, то у худого человека ЭОС расположена вертикально, а у тучного — горизонтально).

Когда сердечная ось меняет положение?



Сняв ЭКГ и узнав, как располагается ЭОС, кардиолог может сказать вам, как в грудной клетке расположено сердце, здоров ли миокард (сердечная мышца), как нервные импульсы проходят к разным отделам сердца.

Если электрокардиограмма показывает, что электрическая ось отклонена вправо или влево, это укажет врачу на какой-либо патологический процесс. Отклонение вправо может навести на подозрения о неправильном положении сердца в груди (его смещение может быть врожденным или возникать вследствие расширения аорты, эмфиземы легких, возникновения новообразований и прочих патологий). Кроме того, такое отклонение ЭОС — признак опасных для жизни состояний: декстрокардии, блокады пучка Гиса, инфаркта миокарда (его передней стенки).

Если же ЭОС значительно отклонена в левую сторону, это может быть признаком кардиомиопатии, гипертрофии некоторых отделов сердца, верхушечного инфаркта или врожденного порока.

Ряд заболеваний сердца может до поры протекать бессимптомно. Поэтому так важно периодически проходить медосмотр, одной из составляющих которого является ЭКГ. Ведь болезнь легче предупредить, чем лечить. А болезни сердца нужно лечить в обязательном порядке, ведь они - прямая угроза жизни.
Источники:
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500