Совет 1: Как рассчитать доверительный интервал

Доверительный интервал подразумевает под собой термин, который применяется в математической статистике для интервальной оценки статистических параметров, производимой при небольшом объеме выборки. Данный интервал должен покрывать значение неизвестного параметра с заданной надежностью.
Инструкция
1
Учтите, что интервал (l1 или l2), центральной областью которого будет являться оценка l*, а также в котором с вероятностью альфа заключена истинная величина параметра, как раз и будет доверительным интервалом или соответствующим значением доверительной вероятности альфа. При этом сама l* будет относиться к точечным оценкам. Например, по результатам каких-либо выборочных величин случайного значения Х {x1, x2,..., xn} необходимо вычислить неизвестный параметр показателя l, от которого будет зависеть распределение. В этом случае получение оценки заданного параметра l* будет заключаться в том, что для каждой выборки нужно будет поставить некоторое значение параметра в соответствие, то есть создать функцию результатов наблюдения показателя Q, значение которого и будет принято равным оценочной величине параметра l* в виде формулы: l*=Q*( x1, x2,..., xn).
2
Обратите внимание, что любая функция по результатам наблюдения называется статистикой. При этом, если она полностью описывает рассматриваемый параметр (явление), тогда ее именуют достаточной статистикой. А потому как результаты наблюдений случайные, то l* будет являться также случайной величиной. Задача расчета статистики должна быть произведена с учетом критериев ее качества. Здесь необходимо учитывать, что закон распределения оценки является вполне определенным, если известно распределение плотности вероятности W(x, l).
3
Можете рассчитать доверительный интервал достаточно просто, если вам известен закон о распределении оценки. К примеру, доверительный интервал оценки в отношении математического ожидания (средней величины случайного значения) mx* =(1/n)*(x1+x2+ …+xn) . Эта оценка будет являться несмещенной, то есть математическое ожидание или среднее значение показателя будет равным истинной величине параметра (М{ mx*} = mx).
4
Можете установить, что дисперсия оценки по математическому ожиданию: бх*^2=Dx/n. На основании предельной центральной теоремы можно сделать соответствующий вывод о том, что закон распределения данной оценки гауссовский (нормальный). Поэтому для проведения расчетов можете использовать показатель Ф(z) - интеграл вероятностей. В таком случае, выберите длину доверительного интервала 2lд, так вы получите: альфа = P{mx-lд (с применением свойства интеграла вероятностей по формуле: Ф(-z)=1- Ф(z)).
5
Постройте доверительный интервал оценки математического ожидания:- найдите значение формулы (альфа+1)/2;- выберите по таблице интеграла вероятности значение, равное lд/sqrt(Dx/n);- возьмите оценку истинной дисперсии: Dx*=(1/n)*((x1 - mx*)^2+(x2 - mx*)^2+…+(xn - mx*)^2);- определите lд;- найдите доверительный интервал по формуле: (mx*-lд, mx*+lд).

Совет 2: Как построить доверительный интервал

Интервал (l1, l2), центром которого является оценка l*, и в котором с вероятность альфа заключено истинное значение параметра, называется доверительным интервалом, соответствующим доверительной вероятности альфа. Стоит отметить, что сама l* относится к оценкам точечным, а доверительный интервал – к интервальным.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Следует сказать несколько слов о самих оценках. Пусть по результатам выборочных значений случайной величины Х {x1, x2,..., xn} требуется определить неизвестный параметр l, от которого зависит распределение. Получение оценки параметра l* состоит в том, что каждой выборке ставится в соответствие некоторое значение параметра, то есть создается функция результатов наблюдения Q, значение которой и принимается равным оценочному значению параметра l*=Q( x1, x2,..., xn).
2
Любая функция результатов наблюдений называется статистикой. Если при этом она полностью описывает данный параметр (явление), то ее называют достаточной статистикой. Так как результаты наблюдений случайны, то l* также случайная величина. Задача определения статистики должна решаться с учетом ее критериев качества. При этом следует отметить, что закон распределения оценки вполне определен, если известно распределение W(x, l) (W – плотность вероятности).
3
Доверительная вероятность выбирается самим исследователем и должна быть достаточно большой, то есть такой, чтобы в условиях рассматриваемой задачи ее можно было бы считать вероятностью практически достоверного события. Доверительный интервал может быть вычислен наиболее просто, если известен закон распределения оценки. Для примера можно рассмотреть доверительный интервал оценки математического ожидания (среднего значения случайной величины) mx* =(1/n)(x1+x2+ …+xn) . Такая оценка является несмещенной, то есть ее математическое ожидание (среднее значение) равно истинному значению параметра (М{ mx*} = mx).
4
Кроме того, легко установить, что дисперсия оценки математического ожидания бх*^2=Dx/n. На основе центральной предельной теоремы можно сделать вывод, что закон распределения этой оценки гауссовский (нормальный). Следовательно, для проведения расчетов можно использовать интеграл вероятностей Ф(z) (не надо путать с Ф0(z) – одной из форм интеграла). Тогда, выбрав длину доверительного интервала равной 2lд , получится: альфа = P{mx-lд
5
Отсюда вытекает следующая методика построения доверительного интервала оценки математического ожидания:1. Задавшись доверительной вероятностью альфа, найдите величину (альфа+1)/2.2. По таблицам интеграла вероятности выберете значение lд/sqrt(Dx/n).3. Так как истинная дисперсия неизвестна, вместо нее можно взять ее оценку: Dx*=(1/n)((x1 - mx*)^2+(x2 - mx*)^2+…+(xn - mx*)^2).4. Найдите lд. 5. Запишите доверительный интервал (mx*-lд, mx*+lд)
Обратите внимание
При определении других, нежели математическое ожидание, оценок, вычисляются суммы и достаточно длинные (см. например, приведенную здесь оценку дисперсии). В этих условиях закон распределения самой суммы неограниченно приближается к нормальному. Поэтому методика нахождения их доверительных интервалов не изменяется. В исключительных случаях вводятся разного рода поправочные коэффициенты.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500