Совет 1: Как направить параболу

Парабола представляет собой график функции вида y = A·x² + B·x + C. Ветви параболы могут быть направлены вверх или вниз. Сравнивая коэффициент A при x² с нулем, можно определить направление ветвей параболы.
Инструкция
1
Пусть задана некоторая квадратичная функция y = A·x² + B·x + C, A≠0. Условие A≠0 важно для задания квадратичной функции, т.к. при A=0 она вырождается в линейную y = B·x + C. Графиком линейного уравнения будет уже не парабола, а прямая.
2
В выражении A·x² + B·x + C сравните с нулем старший коэффициент A. Если он положительный, ветви параболы будут направлены вверх, если отрицательный − вниз. При аналитическом исследовании функции перед построением графика распишите этот момент.
3
Найдите координаты вершины параболы. По оси абсцисс координата находится по формуле x0 = -B/2A. Чтобы найди координату вершины по оси ординат, подставьте полученное значение для x0 в функцию. Тогда вы получите y0 = y(x0).
4
Если парабола направлена вверх, ее вершина будет самой нижней точкой на графике. Если ветви параболы «смотрят» вниз, вершина будет самой верхней точкой графика. В первом случае x0 является точкой минимума функции, во втором − точкой максимума. y0, соответственно, наименьшим и наибольшим значением функции.
5
Для построения параболы одной точки и знания о том, куда направлены ветви, недостаточно. Поэтому найдите координаты еще нескольких дополнительных точек. Помните о том, что парабола - симметричная фигура. Через вершину проведите ось симметрии, перпендикулярную оси Ox и параллельную оси Oy. Достаточно искать точки лишь по одну сторону от оси, а по другую сторону построить симметрично.
6
Найдите «нули» функции. Приравняйте нулю x, сосчитайте y. Так вы получите точку, в которой парабола пересекает ось Oy. Далее приравняйте нулю y и найдите, при каких x выполняется равенство A·x² + B·x + C = 0. Это даст вам точки пересечения параболы с осью Ox. В зависимости от дискриминанта, таких точек две или одна, а может и не быть вовсе.
7
Дискриминант D = B² - 4·A·C. Он нужен для поиска корней квадратного уравнения. Если D > 0, уравнению удовлетворяют две точки; если D = 0 − одна. При D < 0 действительных корней уравнение не имеет.
8
Имея координаты вершины параболы и зная направление ее ветвей, можно сделать вывод о множестве значений функции. Множество значений − это тот диапазон чисел, который пробегает функция f(x) на всей области определения. А определена квадратичная функция на всей числовой прямой, если не задано дополнительных условий.
9
Пусть, например, вершиной является точка с координатами (K,Q). Если ветви параболы направлены вверх, множество значений функции E(f) = [Q;+∞), или, в виде неравенства, y(x) > Q. Если же ветви параболы направлены вниз, то E(f) = (-∞;Q] или y(x) < Q.

Совет 2: Как найти параболу

Парабола – это график квадратичной функции, в общем виде уравнение параболы записывается y=aх^2+bх+с, где а≠0. Это универсальная кривая второго порядка, которая описывает многие явления в жизни, например, движение подбрасываемого и затем падающего тела, форму радуги, поэтому умение найти параболу может очень пригодиться в жизни.
Вам понадобится
  • - формула квадратичного уравнения;
  • - лист бумаги с координатной сеткой;
  • - карандаш, ластик;
  • - компьютер и программа Excel.
Инструкция
1
В первую очередь найдите вершину параболы. Чтобы найти абсциссу этой точки, возьмите коэффициент перед х, разделите его на удвоенный коэффициент перед х^2 и умножьте на -1 (формула х=-b/2a). Ординату найдите, подставив полученное значение в уравнение или по формуле у=(b^2-4ac)/4a. Вы получили координаты точки вершины параболы.
2
Вершину параболы можно найти и другим способом. Так как вершина является экстремумом функции, то для ее вычисления вычислите первую производную и приравняйте ее к нулю. В общем виде вы получите формулу f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. А приравняв ее к нулю, вы придете к той же самой формуле - х=-b/2a.
3
Узнайте, направлены ли ветви параболы вверх или вниз. Для этого посмотрите на коэффициент перед х^2, то есть на а. Если а>0, то ветви направлены вверх, если а
4
Постройте ось симметрии параболы, она пересекает вершину параболы и параллельна оси оу. Все точки параболы будут равноудалены от нее, поэтому можно построить лишь одну часть, а затем симметрично отобразить ее относительно оси параболы.
5
Постройте линию параболы. Для этого найдите несколько точек, подставляя разные значения х в уравнения и решая равенство. Удобно найти пересечение с осями, для этого подставляйте в равенство х=0 и у=0. Построив одну сторону, отразите ее симметрично относительно оси.
6
Можно построить параболу при помощи программы Excel. Для этого откройте новый документ и выделите в нем два столбика, х и у=f(х). В первом столбике запишите значения х на выбранном отрезке, а во втором столбце запишите формулу, например, =2В3*В3-4В3+1 либо =2В3^2-4В3+1. Чтобы не писать эту формулу каждый раз, «растяните» ее на весь столбец, нажав мышкой на маленький крестик в нижнем правом углу и потянув вниз.
7
Получив таблицу, нажмите меню «Вставка» - «Диаграмма». Выберите точечную диаграмму, нажмите «Далее». В появившемся окне добавьте ряд, нажав кнопку «Добавить». Чтобы выбрать нужные ячейки, щелкните поочередно по кнопкам, обведенным красным овалом ниже, затем выделите ваши столбики со значениями. Нажав кнопку «Готово», оцените результат – готовую параболу.
Видео по теме

Совет 3: Как определить вершину параболы

Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки построены в соответствии с квадратным уравнением. Главное в построении этой кривой – найти вершину параболы. Это можно сделать несколькими способами.
Инструкция
1
Чтобы найти координаты вершины параболы, воспользуйтесь следующей формулой: х=-b/2а, где а – коэффициент перед х в квадрате, а b – коэффициент перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. Затем подставьте полученное значение вместо х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Например, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу найдите следующим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы: у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1;3).
2
Значение ординаты параболы можно найти и без предварительного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.
3
Если вы знакомы с понятием производной, найдите вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись следующим свойством любой функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Так как вершина параболы, независимо от того, направлены ее ветви вверх или вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В общем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы, соответствующей вашей функции.
4
Попробуйте найти вершину параболы, воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого найдите точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы найдете х1 и х2. Так как парабола симметрична относительно директрисы, проходящей через вершину, эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Чтобы ее найти, разделим расстояние между точками пополам: х=(Iх1-х2I)/2.
5
Если какой-либо из коэффициентов равен нулю (кроме а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Например, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0;с). Если же не только коэффициент b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0;0).
Видео по теме

Совет 4: Как нарисовать параболу

Парабола – это плоская кривая второго порядка, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид y²=2px. Где р – это фокальный параметр параболы, равный расстоянию от фиксированной точки F, называемой фокусом, до фиксированной прямой D в этой же плоскости, носящей имя – директриса. Вершина такой параболы проходит через начало координат, а сама кривая симметрична относительно оси абсцисс Ох. В школьном курсе алгебры принято рассматривать параболу, ось симметрии которой совпадает с осью ординат Оу: x²=2py. А уравнение при этом записывается несколько иначе: y=ax²+bx+c, а=1/(2p). Нарисовать параболу можно несколькими способами, условно которые можно назвать алгебраическим и геометрическим.
Инструкция
1
Алгебраическое построение параболы.
Выясните координаты вершины параболы. Координату по оси Ох вычислите по формуле: x0=-b/(2a), а по оси Оy: y0=-(b²-4ac)/4a или подставьте полученное значение х0 в уравнение параболы y0=ax0²+bx0+c и вычислите значение.
2
На координатной плоскости постройте ось симметрии параболы. Ее формула совпадает с формулой координаты х0 вершины параболы: x=-b/(2a). Определите, куда направлены ветви параболы. Если а>0, то оси направлены вверх, если а
3
Возьмите произвольно 2-3 значения для параметра х так, чтобы: х0
4
Поставьте точки 1', 2', и 3' так, чтобы они были симметричны точкам 1, 2, 3 относительно оси симметрии.
5
Соедините точки 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 плавной кривой линией. Продолжите линию вверх или вниз, в зависимости от направления параболы. Парабола построена.
6
Геометрическое построение параболы.
Данный метод основан на определении параболы, как совокупности точек, равноудаленных как от фокуса F, так и от директрисы D.
Поэтому сначала найдите фокальный параметр заданной параболы р=1/(2а).
7
Постройте ось симметрии параболы, как описано во 2 шаге. На ней поставьте точку F с координатой по оси Оу равной у=р/2 и точку D с координатой у=-р/2.
8
При помощи угольника постройте линию, проходящую через точку D, перпендикулярную оси симметрии параболы. Эта линия – директриса параболы.
9
Возьмите нить по длине равной одному из катетов угольника. Один конец нити кнопкой закрепите на вершине угольника, к которому прилегает данный катет, а второй конец – в фокусе параболы в точке F. Линейку положите так, чтобы ее верхний край совпадал с директрисой D. На линейку поставьте угольник, свободным от кнопки катетом.
10
Карандаш установите так, чтобы он своим острием прижимал нить к катету угольника. Двигайте угольник вдоль линейки. Карандаш вычертит нужную вам параболу.
Видео по теме
Обратите внимание
Не рисуйте вершину параболы в виде угла. Ее ветви сходятся друг с другом, плавно закругляясь.
Совет полезен?
При построении параболы геометрическим способом следите, чтобы нить всегда была натянута.
Источники:
  • Сборник задач по аналитической геометрии, Д.В. Клетеник,1998.

Совет 5: Что такое ось симметрии

Каким бы субъективным ни было понятие красоты, оно все-таки имеет некоторые общие для всех критерии. Один из таких критериев – симметрия, ведь мало кому понравится лицо, на котором глаза расположены на разном уровне. Симметрия же всегда предполагает наличие поворотной оси, именуемой также осью симметрии.
В широком смысле симметрией именуется сохранение чего-либо неизменным при каких-то преобразованиях. Обладают таким свойством и некоторые геометрические фигуры.

Геометрическая симметрия



Применительно к геометрической фигуре симметрия означает, что если данную фигуру преобразовать – например, повернуть – некоторые ее свойства останутся прежними.

Возможность таких преобразований различается от фигуры к фигуре. Например, круг можно сколько угодно вращать вокруг точки, расположенной в его центре, он так и останется кругом, ничто для него не изменится.

Понятие симметрии можно объяснить, не прибегая к вращению. Достаточно провести через центр круга прямую и построить в любом месте фигуры перпендикулярный ей отрезок, соединяющий две точки на окружности. Точка пересечения с прямой будет делить данный отрезок на две части, которые будут равны друг другу.

Иными словами, прямая разделила фигуру на две равные части. Точки частей фигуры, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, находятся на равном расстоянии от нее. Вот эта пряма и будет называться осью симметрии. Симметрия такого рода – относительно прямой – называется осевой симметрией.

Количество осей симметрии



У разных фигур количество осей симметрии будет различным. Например, у круга и шара таких осей множество. У равностороннего треугольника осью симметрии будет перпендикуляр, опущенный на каждую из сторон, следовательно, у него три оси. У квадрата и прямоугольника можно провести четыре оси симметрии. Две из них перпендикулярны сторонам четырехугольников, а две другие являются диагоналями. А вот у равнобедренного треугольника ось симметрии только одна, располагающаяся меду равными его сторонами.

Осевая симметрия встречается и в природе. Ее можно наблюдать в двух вариантах.

Первый вид – радиальная симметрия, предполагающая наличие нескольких осей. Она характерна, например, для морских звезд. Более высокоразвитым организмам присуща билатеральная, или двусторонняя симметрия с единственной осью, делящей тело на две части.

Человеческому телу тоже присуща билатеральная симметрия, но идеальной ее назвать нельзя. Симметрично расположены ноги, руки, глаза, легкие, но не сердце, печень или селезенка. Отклонения от билатеральной симметрии заметны даже внешне. Например, крайне редко бывает так, чтобы у человека на обеих щеках были одинаковые родинки.
Источники:
  • Что такое симметрия
Источники:
  • формула параболы
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500