Инструкция
1
Пусть задана некоторая квадратичная функция y = A·x² + B·x + C, A≠0. Условие A≠0 важно для задания квадратичной функции, т.к. при A=0 она вырождается в линейную y = B·x + C. Графиком линейного уравнения будет уже не парабола, а прямая.
2
В выражении A·x² + B·x + C сравните с нулем старший коэффициент A. Если он положительный, ветви параболы будут направлены вверх, если отрицательный − вниз. При аналитическом исследовании функции перед построением графика распишите этот момент.
3
Найдите координаты вершины параболы. По оси абсцисс координата находится по формуле x0 = -B/2A. Чтобы найди координату вершины по оси ординат, подставьте полученное значение для x0 в функцию. Тогда вы получите y0 = y(x0).
4
Если парабола направлена вверх, ее вершина будет самой нижней точкой на графике. Если ветви параболы «смотрят» вниз, вершина будет самой верхней точкой графика. В первом случае x0 является точкой минимума функции, во втором − точкой максимума. y0, соответственно, наименьшим и наибольшим значением функции.
5
Для построения параболы одной точки и знания о том, куда направлены ветви, недостаточно. Поэтому найдите координаты еще нескольких дополнительных точек. Помните о том, что парабола - симметричная фигура. Через вершину проведите ось симметрии, перпендикулярную оси Ox и параллельную оси Oy. Достаточно искать точки лишь по одну сторону от оси, а по другую сторону построить симметрично.
6
Найдите «нули» функции. Приравняйте нулю x, сосчитайте y. Так вы получите точку, в которой парабола пересекает ось Oy. Далее приравняйте нулю y и найдите, при каких x выполняется равенство A·x² + B·x + C = 0. Это даст вам точки пересечения параболы с осью Ox. В зависимости от дискриминанта, таких точек две или одна, а может и не быть вовсе.
7
Дискриминант D = B² - 4·A·C. Он нужен для поиска корней квадратного уравнения. Если D > 0, уравнению удовлетворяют две точки; если D = 0 − одна. При D < 0 действительных корней уравнение не имеет.
8
Имея координаты вершины параболы и зная направление ее ветвей, можно сделать вывод о множестве значений функции. Множество значений − это тот диапазон чисел, который пробегает функция f(x) на всей области определения. А определена квадратичная функция на всей числовой прямой, если не задано дополнительных условий.
9
Пусть, например, вершиной является точка с координатами (K,Q). Если ветви параболы направлены вверх, множество значений функции E(f) = [Q;+∞), или, в виде неравенства, y(x) > Q. Если же ветви параболы направлены вниз, то E(f) = (-∞;Q] или y(x) < Q.