Совет 1: Как найти координаты точек пересечения медиан

Из курса школьной геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Поэтому разговор следует вести о точке пересечения, а не о нескольких точках.
Инструкция
1
Сначала необходимо обговорить выбор удобной для решения задачи системы координат. Обычно в задачах такого рода одну из сторон треугольника помещают на оси 0Х так, чтобы одна точка совпадала с началом координат. Поэтому не стоит отходить от общепринятых канонов решения и сделать также (см. рис. 1). Способ задание самого треугольника не играет принципиальной роли, так как всегда можно перейти от одного из них к другому (в чем вы в дальнейшем сможете убедиться).
2
Пусть искомый треугольник задан двумя векторами его сторон АС и АВ a(x1, y1) и b(x2, y2), соот-ветственно. Более того, по построению y1=0. Третья сторона ВС соответствует c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), согласно данной иллюстрации. Точка А помещена в начало координат, то есть ее координаты А(0, 0). Легко также заметить, что координаты В (x2, y2), a C (x1, 0). Отсюда можно сделать вывод, что задание треугольника двумя векторами автоматически совпало с его заданием тремя точками.
3
Далее следует достроить искомый треугольник до соответствующего ему по размерам параллелограмма ABDC. При этом известно, что в точке пересечения диагоналей параллелограмма они делятся пополам, так, что АQ медиана треугольника АВС, опускается из А на сторону ВС. Вектор диагонали s содержит эту медиану и является, по правилу параллелограмма, геометрической суммой a и b. Тогда s = a + b, а его координаты s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Такие же координаты будут и у точки D(x1+x2, y2).
4
Теперь можно переходить к составлению уравнение прямой, содержащей s, медиану AQ и, са-мое главное, искомую точку пересечения медиан H. Так как сам вектор s является направляю-щим для данной прямой, а также известна точка А(0, 0), принадлежащая ей, то самое простое – это использовать уравнение плоской прямой в каноническом виде:(x-x0)/m=(y-y0)/n.Здесь (x0, y0) координаты произвольной точки прямой (точка А(0, 0)), а (m, n) – координаты s (вектор (x1+x2, y2). И так, искомая прямая l1 будет иметь вид:x/( x1+x2)=y/ y2.
5
Самый естественный способ нахождения координат точки – это определение ее в пересечении двух прямых. Поэтому следует найти еще одну прямую, содержащую т. Н. Для этого на рис. 1 выполнено построение еще одного параллелограмма АPBC, диагональ которого g=a+c =g(2x1-x2, -y2) содержит вторую медиану CW, опущенную из С на сторону АВ. Это диагональ содержит точку С(x1, 0), координаты которой будут играть роль (x0, y0), а направляющий вектор здесь будет g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Отсюда l2 задается уравнением: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).
6
Решив совместно уравнения для l1 и l2, легко найти координаты точки пересечения медиан Н:Н((x1+x1)/3, y2/3).

Совет 2: Как найти точку пересечения медиан

Медианой треугольника называется линия, которая проведена из его угла и делит пополам противолежащую сторону. Все медианы пересекаются в одной точке. Найти эту точку необходимо, если нужно знать, где находится центр тяжести детали, имеющей треугольную форму. Это можно сделать с помощью геометрических построений.
Вам понадобится
  • - треугольник с заданными параметрами;
  • - карандаш;
  • - транспортир;
  • - линейка;
  • - компьютер с программой AutoCAD.
Инструкция
1
Вычисления начните с геометрических построений. Постройте треугольник согласно имеющимся у вас данным. Это могут быть три стороны, сторона и два прилежащих к ней угла либо же две стороны и угол между ними. Для определения точки пересечения медиан вам необходимо знать размеры всех трех сторон, поэтому обозначьте на чертеже то, что вам известно и найдите остальные размеры.
2
Обозначьте треугольник как АВС. Стороны, противолежащие углам, будут соответственно, a, b и с. Проведите медианы и обозначьте их как m1, m2 и m3, а точку их пересечения — как О.
3
Вспомните свойство медиан. Точка пересечения отсекает от каждой из них отрезки в соотношении 2:1. Больший отрезок — тот, который ограничен вершиной угла и точкой О. Это важно, поскольку вам необходимо определить расстояние этой точки от каждого из углов.
4
Длину медианы, принадлежащей той или иной стороне, вычислите по формуле Стюарта. Она равна квадратному корню из дроби, числитель которой представляет собой сумму удвоенных квадратов сторон, не принадлежащих данной медиане, за вычетом из нее квадрата третьей стороны. В знаменателе подкоренного выражения стоит число 4. То есть m1 = √(2*a2+2*b2-c2)/4. Вычислите таким же образом две остальные медианы.
5
Обозначьте отрезки, на которые делит медиану точка пересечения, как L1 и L2. Отрезок L1 в два раза больше отрезка L2. При этом L2 = m1/3. Найдите расстояние L2. Оно равно 2*L1, то есть L2 = 2*m/3. Таким же образом найдите расстояния точки пересечения от остальных углов треугольника и его сторон.
6
Для определения точки пересечения медиан в AutoCAD постройте треугольник, определив координаты его вершин. Обозначьте треугольник как АBC. Найдите координату точки О по оси х. Она будет равна сумме координат х всех вершин треугольника, деленной на 3. Точно так же найдите и координату y. Для более точных расчетов пользуйтесь встроенным калькулятором.
Видео по теме
Совет полезен?
В AutoCAD можно поступить и другим способом. Найдите координаты медиан. Для этого сложите одноименные координаты двух углов, принадлежащих одной стороне. Полученную сумму поделите на 2. Таким же образом найдите вторую координату. Для определения точки пересечения достаточно вспомнить свойство медианы делиться в точке пересечения в соотношении 2:1. Зная координаты угла и точки пересечения медианы со стороной, найдите эту точку. Сложите одноименные координаты и разделите их сумму на 3, поступив точно так же со второй парой.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500