Совет 1: Как найти уравнение перпендикулярной прямой

В декартовой системе координат всякая прямая может быть записана в виде линейного уравнения. Различают общий, канонический и параметрический способы задания прямой, каждый из которых предполагает свои условия перпендикулярности.
Инструкция
1
Пусть две прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями:(x-x1)/q1 = (y-y1)/w1 = (z-z1)/e1;(x-x2)/q2 = (y-y2)/w2 = (z-z2)/e2.
2
Числа q, w и e, представленные в знаменателях, являются координатами направляющих векторов к этим прямым. Направляющим называют такой ненулевой вектор, который лежит на данной прямой либо параллелен ей.
3
Косинус угла между прямыми имеет формулу:cosλ = ± (q1·q2 + w1·w2 + e1·e2) / √ [(q1)² + (w1)² + (e1)²] · [(q2)² + (w2)² + (e2)²].
4
Прямые, заданные каноническими уравнениями, взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны. То есть, угол между прямыми (он же – угол между направляющими векторами) равен 90°. Косинус угла в этом случае обращается в ноль. Поскольку косинус выражен дробью, то его равенство нулю эквивалентно нулевому знаменателю. В координатах это запишется так:q1·q2 + w1·w2 + e1·e2 = 0.
5
Для прямых на плоскости цепочка рассуждений выглядит аналогично, но условие перпендикулярности запишется чуть более упрощенно: q1·q2 + w1·w2 = 0, т.к. третья координата отсутствует.
6
Пусть теперь прямые заданы общими уравнениями:J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0;J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.
7
Здесь коэффициенты J, K, L – это координаты нормальных векторов. Нормаль – это единичный вектор, перпендикулярный к прямой.
8
Косинус угла между прямыми теперь запишется в таком виде:cosλ = (J1·J2 + K1·K2 + L1·L2) / √ [(J1)² + (K1)² + (L1)²] · [(J2)² + (K2)² + (L2)²].
9
Прямые взаимно перпендикулярны в том случае, если нормальные векторы ортогональны. В векторном виде, соответственно, это условие выглядит так:J1·J2 + K1·K2 + L1·L2 = 0.
10
Прямые на плоскости, заданные общими уравнениями, перпендикулярны, когда J1·J2 + K1·K2 = 0.

Совет 2: Как найти уравнение прямой

Часто известно, что y зависит от x линейно, и дан график этой зависимости. В этом случае возможно узнать уравнение прямой. Сначала нужно выбрать на прямой две точки.
Инструкция
1
На рисунке мы выбрали точки А и B. Удобно выбирать точки пересечения с осями. Двух точек достаточно для того, чтобы точно определить прямую.
Как найти <strong>уравнение</strong> <b>прямой</b>
2
Найдите координаты выбранных точек. Для этого опустите перпендикуляры от точек на оси координат и запишите цифры со шкалы. Так для точки B из нашего примера координата x равна -2, а координата y - 0. Аналогичным образом для точки А координаты будут (2;3).
3
Известно, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Подставляем в уравнение в общем виде координаты выбранных точек, тогда для точки A получим такое уравнение: 3 = 2k +b. Для точки B получим другое уравнение: 0 = -2k + b. Очевидно, что у нас система из двух уравнений с двумя неизвестными: k и b.
Как найти <strong>уравнение</strong> <b>прямой</b>
4
Дальше решаем систему любым удобным способом. В нашем случае можно сложить уравнения системы, так как неизвестная k входит в оба уравнения с коэффициентами, которые одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Тогда получим 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, или, что то же: 3 = 2b. Таким образом b = 3/2. Подставим найденное значение b в любое из уравнений, чтобы найти k. Тогда 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.
5
Подставим найденные k и b в уравнение общего вида и получим искомое уравнение прямой: y = 3x/4 + 3/2.
Видео по теме
Обратите внимание
Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой и равен тангенсу угла между прямой и осью x.
Полезный совет
Имея уравнение некоторой прямой, найдите уравнение прямой, которая ей перпендикулярна, используя изложенные выше свойства.
Источники:
  • «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», Р.Ф. Апатенок, А.М. Маркина, Н.В. Попова, В.Б. Хейнман, 1986.
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500