Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Для простоты описания данного вопроса следует ввести следующее обозначение (см. рис. 1). Рассмотрите вычисление интегралов int(R(x)dx), где R(x) – рациональная функция или рациональная дробь, которая представляет собой отношение двух многочленов: R(x)=Pm(x)/Qn(x)=(b0x^m+b1x^(m-1)+…+b(m-1)x + bm)/(a0x^m+a1x^(m-1)+…+a(n-1)x + an), где Рm(х) и Qn(х) – многочлены с действительными коэффициентами. Если m
2
Теперь следует рассмотреть интегрирование правильных дробей. Среди них выделяют простейшие дроби следующих четырех типов:1. A/(x-a); 2. A/((x-b)^k), k=1,2,3,…; 3. (Ax+B)/(x^2+2px+q), q-p^2>0; 4. (Cx+D)/((x^2+2mx+n))^s, где n-m^2>0, s=1,2,3,… . Многочлен x^2 + 2px + q не имеет вещественных корней, так как q-p^2>0. Аналогичная ситуация и в пункте 4.
3
Рассмотрите интегрирование простейших рациональных дробей. Интегралы от дробей 1-ого и 2-ого типов вычисляются непосредственно: int(A/(x-a))dx=A/ln| x-a| + C; int(A/((x-b)^k)dx=-(1/(k-1))A/((x-b)^(k-1) + C, C=const.Вычисление интеграла от дроби 3-ого типа целесообразнее проводить на конкретных примерах хотя бы из-за того, что это проще. Дроби 4-ого типа в данной статье не рассматриваются.
4
Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей (при этом имеется ввиду, что многочлен Qn(x) разложен в произведение линейных и квадратичных множителей).Um(x)/Qn(x)=A/(x-a)+A1/(x-b)+A2/(x-b)^2+…+Ak/(x-b)^k+…+(Mx+N)/(x^2+2px+q)+ +(M1x+N1)/(x^2+2mx+n)+…+ (Mrx+Nr)/(x^2+2mx+n)^r.Например, если в разложении произведения Qn(x) появилось (x-b)^3, то в сумму простейших дробей это внесет тройку слагаемых A1/(x-b)+A2/(x-b)^2+A3/(x-b)^3.Дальнейшие действия состоят в возращении к сумме дробей, т.е. в приведении к общему знаменателю. При этом дробь слева обладает «истинным» числителем, а справа – числителем с неопределенными коэффициентами. Так как знаменатели одинаковы, то следует приравнять друг к другу числители. При этом в первую очередь необходимо воспользоваться тем правилом, что многочлены равны друг другу, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Такое решение всегда даст положительный результат. Его можно сократить, если еще до приведения подобных в многочлене с неопределенными коэффициентами суметь «засечь» нули некоторых слагаемых.
5
Пример. Найти int((x/(1-x^4))dx).Разложите знаменатель дроби в произведение. 1-x^4=(1-x)(1+x)(x^2+1). (x^2)/(1-x^4)=A/(1-x) + B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2+1).Приведите сумму к общему знаменателю и приравняйте числители дробей в обеих частях равенства.х=A(x+1)(x^2+1) +B(1-x)(x^2+1)+(Cx+D)(1-x^2)Заметьте, чтоПри х = 1: 1 = 4А, А = 1/4.При х = - 1: -1 = 4В, В = -1/4.Коэффициенты при x^3: A-B-C=0, откуда С=1/2.Коэффициенты при x^2: A+B-D=0 и D=0. x/(1-x^4)=-(1/4)(1/(x+1)) – (1/4)/(x-1) + (1/2)(х/(x^2+1)).int(x/(1-x^4))dx)=-(1/4)int((1/(x+1))dx)-(1/4)int((1/(x-1))dx)+(1/4)int((1/(x^2+1))d(x^2+1)==-(1/4)ln|x+1|- (1/4)ln|x-1|+(1/4)ln(x^2+1) + C=(1/4)ln|(x^2+1)/(x^2-1)| + C.